Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9289240

W kulę o promieniu długości R wpisano walec o największej objętości. Wyznacz stosunek objętości kuli do objętości tego walca.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rysujemy przekrój osiowy opisanej sytuacji.


PIC


Liczymy objętość walca.

V = πr 2H .

Mamy ponadto

 1 (2r)2 + H 2 = (2R )2 ⇒ r2 = R 2 − -H 2. 4

Podstawiamy to do wzoru na objętość

 ( 1 ) 1 V = π R 2 − -H 2 H = -π (4R2H − H 3). 4 4

Pozostało wyznaczyć największą wartość funkcji  2 3 f (H ) = 4R H − H na przedziale (0 ,2R) . Liczymy pochodną

 ( ) ( √ -- ) ( √ -- ) ′ 2 2 4- 2 2 2--3- 2--3- f (H ) = 4R − 3H = 3 3R − H = − 3 H − 3 R H + 3 R .

Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół, zatem w przedziale ( 2√-3 ) 0, 3 R pochodna jest dodatnia, czyli f rośnie, a w przedziale ( - ) 2√3- 3 ,2R pochodna jest ujemna, czyli funkcja maleje. Największa wartość jest więc przyjmowana dla  2√3- H = 3 R . Mamy wtedy

 ( ) ( ) √ -- √ -- V = π R 2 − 1H 2 H = π R 2 − 1R 2 2--3-R = 4--3π-R 3. 4 3 3 9

Liczymy teraz szukany iloraz

 4πR 3 √ -- -√3----- = √-3--= 3. 4-3πR 3 3 9

 
Odpowiedź: √ -- 3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!