/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema/Największa objętość

Zadanie nr 9389470

Suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 36. Jakie są wymiary graniastosłupa o największej objętości?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od schematycznego rysunku.

PIC

Jeżeli oznaczmy krawędź podstawy graniastosłupa przez a , a wysokość przez H , to mamy

12a+ 6H = 36 ⇒ H = 6− 2a.

Sześciokąt foremny w podstawie graniastosłupa składa się z 6 trójkątów równobocznych o boku a , więc objętość graniastosłupa wyraża się wzorem

-- a2√ 3 √ -- √ -- V = 6 ⋅------⋅H = 3 3a 2(3− a) = 3 3(3a2 − a3). 4

Pozostało sprawdzić, dla jakiego a ∈ (0 ,3) (bo H > 0 ) funkcja 2 3 f(a) = 3a − a przyjmuje wartość największą. Liczymy pochodną

′ 2 f (a) = 6a − 3a = 3a(2 − a).

Ponieważ pochodna jest parabolą o ramionach skierowanych w dół, więc funkcja f jest rosnąca na przedziale ⟨0,2⟩ (bo pochodna jest dodatnia) i malejąca na przedziale ⟨2,3⟩ (pochodna jest ujemna). Zatem największą wartość f przyjmuje w punkcie a = 2 . Wysokość graniastosłupa jest wtedy równa

H = 6 − 2a = 2 .

 
Odpowiedź: Krawędź podstawy: 2, wysokość: 2.

Wersja PDF