Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9534437

Spośród tych graniastosłupów prawidłowych trójkątnych, których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 18, wybierz graniastosłup o największej objętości. Oblicz tę maksymalną objętość.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od schematycznego rysunku.


PIC


Jeżeli oznaczmy krawędź podstawy graniastosłupa przez a , a wysokość przez H , to mamy

6a + 3H = 1 8 ⇒ H = 6 − 2a.

Zatem objętość wyraża się wzorem

 √ -- √ -- √ -- a2--3- --3-2 --3- 2 3 V = 4 ⋅H = 2 a (3 − a) = 2 (3a − a ).

Pozostało sprawdzić, dla jakiego a ∈ (0 ,3) (bo H > 0 ) funkcja f(a) = 3a 2 − a 3 przyjmuje wartość największą. Liczymy pochodną

f ′(a) = 6a − 3a 2 = 3a(2 − a).

Ponieważ pochodna jest parabolą o ramionach skierowanych w dół, więc funkcja f jest rosnąca na przedziale ⟨0,2 ⟩ (bo pochodna jest dodatnia) i malejąca na przedziale ⟨2 ,3) (pochodna jest ujemna). Zatem największą wartość f przyjmuje w punkcie a = 2 . Szukana objętość wynosi

 √ -- 3 √ -- V = ---(12 − 8) = 2 3. 2

 
Odpowiedź: Krawędź podstawy: 2, wysokość: 2, objętość:  √ -- 2 3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!