Zadanie nr 9694276

Rozpatrujemy wszystkie stożki, w których suma długości tworzącej i promienia podstawy jest równa 2. Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych stożków, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy stożek

Jeżeli za parametr przyjmiemy promień podstawy stożka, to mamy

r+ l = 2 ⇒ l = 2 − r

oraz

∘ ------- ∘ ------------- ∘ ---------------- √ ------- √ ----- h = l2 − r2 = (2 − r)2 − r2 = 4− 4r + r2 − r2 = 4 − 4r = 2 1− r.

Objętość stożka jest więc równa

√ ----- ∘ ------- V (r) = 1πr 2 ⋅h = 2πr 2 1− r = 2π r4 − r5. 3 3 3

Wyznaczenie największej wartości objętości sprowadza się więc do wyznaczenia największej wartości funkcji

f(r) = r4 − r5.

Dziedziną tej funkcji jest przedział r ∈ (0,1) (bo musi być h2 = 4(1 − r) > 0 ). Liczymy pochodną

( 4 ) f ′(r) = 4r3 − 5r4 = 5r3 --− r . 5

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia w przedziale ( 4) 0,5 i ujemna w przedziale (4 ) 5 ,1 . To oznacza, że funkcja rośnie w przedziale ( 4⟩ 0,5 i maleje w przedziale ⟨ ) 4 5,1 . W takim razie największą wartość objętość otrzymamy dla r = 4 5 .