Zadanie nr 2185517
W metalowym ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o wysokości i krawędzi podstawy
wydrążono otwór w kształcie walca, którego oś symetrii pokrywa się z osią symetrii ostrosłupa (patrz rysunek). Otwór wydrążono przez podstawę ostrosłupa w ten sposób, że górna podstawa walca nie wystaje poza powierzchnię ostrosłupa. Jaka może być najmniejsza możliwa objętość otrzymanej w ten sposób bryły?
Rozwiązanie
Objętość otrzymanej bryły będzie najmniejsza, gdy objętość wydrążonego walca będzie największa. W szczególności górna podstawa walca musi być styczna do ścian bocznych ostrosłupa. Naszkicujmy przekrój opisanej sytuacji płaszczyzną przechodzącą przez oś symetrii ostrosłupa i prostopadłą do jednej z krawędzi podstawy.
Jeżeli jest promieniem podstawy walca, a
jego wysokością, to z podobieństwa trójkątów
i
mamy
![AC--= AB-- DC EB a a− r a− r H 2- = -2---- ⇒ h = -2-a--⋅H = --(a− 2r). H h 2 a](https://img.zadania.info/zad/2185517/HzadR5x.gif)
Objętość walca jest więc równa
![( ) V = πr 2 ⋅h = πr2 ⋅ H-(a − 2r) = πH r2 − 2r3 . a a](https://img.zadania.info/zad/2185517/HzadR6x.gif)
Sprawdzamy teraz kiedy funkcja
![f(r) = r2 − 2-r3 a](https://img.zadania.info/zad/2185517/HzadR7x.gif)
określona dla przyjmuje wartość największą. Liczymy pochodną
![6 6 ( a) f′(r) = 2r − --r2 = − -r r− -- . a a 3](https://img.zadania.info/zad/2185517/HzadR9x.gif)
Widać stąd, że na przedziale funkcja jest rosnąca (pochodna jest dodatnia), a na przedziale
malejąca (pochodna jest ujemna). Zatem największą objętość walca otrzymamy dla
. Jest ona wtedy równa
![( 2 ) ( a2 2a2) a2πH V = πH r2 −--r3 = πH --− ---- = ------. a 9 2 7 27](https://img.zadania.info/zad/2185517/HzadR13x.gif)
Obliczamy jeszcze objętość bryły otrzymanej z ostrosłupa przez wycięcie walca.
![2 2 1-a2 ⋅H − a-πH-- = a-H-(9− π). 3 27 2 7](https://img.zadania.info/zad/2185517/HzadR14x.gif)
Odpowiedź: