Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2185517

W metalowym ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o wysokości H i krawędzi podstawy a wydrążono otwór w kształcie walca, którego oś symetrii pokrywa się z osią symetrii ostrosłupa (patrz rysunek). Otwór wydrążono przez podstawę ostrosłupa w ten sposób, że górna podstawa walca nie wystaje poza powierzchnię ostrosłupa. Jaka może być najmniejsza możliwa objętość otrzymanej w ten sposób bryły?


PIC


Wersja PDF
Rozwiązanie

Objętość otrzymanej bryły będzie najmniejsza, gdy objętość wydrążonego walca będzie największa. W szczególności górna podstawa walca musi być styczna do ścian bocznych ostrosłupa. Naszkicujmy przekrój opisanej sytuacji płaszczyzną przechodzącą przez oś symetrii ostrosłupa i prostopadłą do jednej z krawędzi podstawy.


PIC


Jeżeli r jest promieniem podstawy walca, a h jego wysokością, to z podobieństwa trójkątów ACD i ABE mamy

AC--= AB-- DC EB a a− r a− r H 2- = -2---- ⇒ h = -2-a--⋅H = --(a− 2r). H h 2 a

Objętość walca jest więc równa

 ( ) V = πr 2 ⋅h = πr2 ⋅ H-(a − 2r) = πH r2 − 2r3 . a a

Sprawdzamy teraz kiedy funkcja

f(r) = r2 − 2-r3 a

określona dla  ( a ) r ∈ 0,2 przyjmuje wartość największą. Liczymy pochodną

 6 6 ( a) f′(r) = 2r − --r2 = − -r r− -- . a a 3

Widać stąd, że na przedziale  a (0,3) funkcja jest rosnąca (pochodna jest dodatnia), a na przedziale  a a ( 3,2) malejąca (pochodna jest ujemna). Zatem największą objętość walca otrzymamy dla r = a3 . Jest ona wtedy równa

 ( 2 ) ( a2 2a2) a2πH V = πH r2 −--r3 = πH --− ---- = ------. a 9 2 7 27

Obliczamy jeszcze objętość bryły otrzymanej z ostrosłupa przez wycięcie walca.

 2 2 1-a2 ⋅H − a-πH-- = a-H-(9− π). 3 27 2 7

 
Odpowiedź: a2H-(9− π) 27

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!