Zadanie nr 7657041

Na półkuli o promieniu opisano stożek w ten sposób, że środek podstawy stożka pokrywa się ze środkiem kuli. Jaka jest najmniejsza możliwa objętość tego stożka?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Spróbujemy obliczyć objętość stożka w zależności od jego wysokości .

Zauważmy, że promień jest wysokością w trójkącie prostokątnym BCE . Porównując dwa wzory na pole tego trójkąta mamy więc

EB ⋅EC = 2PBCE = ED ⋅ BC ∘ ------- rh = R r2 + h2 /()2 2 2 2 2 2 2 r h = R r + R h R 2h2 r2(h2 − R 2) = R2h 2 ⇒ r2 = -2-----2. h − R

Objętość stożka jest więc równa

1 1 R2h2 πR 2 h3 V = --πr2 ⋅h = --π ⋅-2-----2 ⋅ h =-----⋅ -2----2, 3 3 h − R 3 h − R

gdzie h ∈ (R ,+ ∞ ) . Aby wyznaczyć stożek o najmniejszej możliwej objętości wystarczy więc wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji

3 f(h) = --h-----. h2 − R2

Liczymy pochodną

3h2(h2 − R 2)− h 3 ⋅2h h2(h2 − 3R 2) f ′(h) = ----------------------= -------------. (h 2 − R 2)2 (h2 − R 2)2

Widać teraz, że pochodna jest ujemna w przedziale √ -- (R ,R 3 ) i dodatnia w przedziale √ -- (R 3,+ ∞ ) . To oznacza, że funkcja jest malejąca w przedziale √ -- (R ,R 3⟩ i rosnąca w przedziale √ -- ⟨R 3 ,+∞ ) . Najmniejszą objętość otrzymamy więc dla √ -- h = R 3 . Objętość stożka jest wtedy równa