/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema/Najmniejsza objętość

Zadanie nr 8386531

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości H wpisano sześcian tak, że cztery jego wierzchołki należą do krawędzi bocznych ostrosłupa, a cztery pozostałe należą do płaszczyzny jego podstawy. Oblicz dla jakiej długości krawędzi podstawy ostrosłupa stosunek objętości ostrosłupa do objętości sześcianu jest najmniejszy możliwy.

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Oznaczmy przez a długość krawędzi podstawy ostrosłupa, a przez x długość krawędzi sześcianu. Patrzymy teraz na przekrój ostrosłupa płaszczyzną DBS i korzystamy z podobieństwa trójkątów DKL i DMS .

-DK-- -LK- DM = SM a√ 2 x√ 2 --2--−√--2-- -x a-2- = H 2 a-−-x- -x -aH--- a = H ⇒ aH − xH = ax ⇒ x = a + H .

Stosunek objętości ostrosłupa do objętości sześcianu jest więc równy

13a2H-- 1- --a2H--- 1- (a-+-H-)3 1- a3 +-3a2H-+--3aH-2 +-H-3 x 3 = 3 ⋅(aH )3 = 3 ⋅ aH 2 = 3 ⋅ aH 2 = a+H- 1 (( a ) 2 a H ) = -- -- + 3 ⋅-- + 3 + -- . 3 H H a

Widać teraz, że możemy podstawić t = a- H – dzięki temu mamy jedną literkę, a nie dwie. Wystarczy teraz wyznaczyć najmniejszą możliwą wartość funkcji

1 f(t) = t2 + 3t+ 3 + -- t

określonej dla t ∈ (0 ,+∞ ) . Liczymy pochodną

1 2t3 + 3t2 − 1 f′(t) = 2t+ 3− -2 = -------2-----. t t

Szukamy miejsc zerowych licznika – jednym z nich jest 1 t = 2 . Dzielimy teraz wielomian w liczniku przez (2t− 1) . My zrobimy to grupując wyrazy.

3 2 3 2 2 2 2t + 3t − 1 = (2t − t )+ (4t − 1) = t(2t − 1) + (2t− 1)(2t+ 1) = = (2t − 1)(t2 + 2t+ 1) = (2t− 1)(t+ 1)2.

To oznacza, że pochodna jest ujemna dla ( ) t ∈ 0, 12 i nieujemna dla ( ) t ∈ 12,+ ∞ . W takim razie funkcja y = f (t)) w t = 12 osiąga minimum globalne. Mamy wtedy

1- a- H- 2 = t = H ⇒ a = 2 .

 
Odpowiedź: H- 2

Wersja PDF