Zadanie nr 8386531
W ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości wpisano sześcian tak, że cztery jego wierzchołki należą do krawędzi bocznych ostrosłupa, a cztery pozostałe należą do płaszczyzny jego podstawy. Oblicz dla jakiej długości krawędzi podstawy ostrosłupa stosunek objętości ostrosłupa do objętości sześcianu jest najmniejszy możliwy.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Oznaczmy przez długość krawędzi podstawy ostrosłupa, a przez
długość krawędzi sześcianu. Patrzymy teraz na przekrój ostrosłupa płaszczyzną
i korzystamy z podobieństwa trójkątów
i
.
![-DK-- -LK- DM = SM a√ 2 x√ 2 --2--−√--2-- -x a-2- = H 2 a-−-x- -x -aH--- a = H ⇒ aH − xH = ax ⇒ x = a + H .](https://img.zadania.info/zad/8386531/HzadR6x.gif)
Stosunek objętości ostrosłupa do objętości sześcianu jest więc równy
![13a2H-- 1- --a2H--- 1- (a-+-H-)3 1- a3 +-3a2H-+--3aH-2 +-H-3 x 3 = 3 ⋅(aH )3 = 3 ⋅ aH 2 = 3 ⋅ aH 2 = a+H- 1 (( a ) 2 a H ) = -- -- + 3 ⋅-- + 3 + -- . 3 H H a](https://img.zadania.info/zad/8386531/HzadR7x.gif)
Widać teraz, że możemy podstawić – dzięki temu mamy jedną literkę, a nie dwie. Wystarczy teraz wyznaczyć najmniejszą możliwą wartość funkcji
![1 f(t) = t2 + 3t+ 3 + -- t](https://img.zadania.info/zad/8386531/HzadR9x.gif)
określonej dla . Liczymy pochodną
![1 2t3 + 3t2 − 1 f′(t) = 2t+ 3− -2 = -------2-----. t t](https://img.zadania.info/zad/8386531/HzadR11x.gif)
Szukamy miejsc zerowych licznika – jednym z nich jest . Dzielimy teraz wielomian w liczniku przez
. My zrobimy to grupując wyrazy.
![3 2 3 2 2 2 2t + 3t − 1 = (2t − t )+ (4t − 1) = t(2t − 1) + (2t− 1)(2t+ 1) = = (2t − 1)(t2 + 2t+ 1) = (2t− 1)(t+ 1)2.](https://img.zadania.info/zad/8386531/HzadR14x.gif)
To oznacza, że pochodna jest ujemna dla i nieujemna dla
. W takim razie funkcja
w
osiąga minimum globalne. Mamy wtedy
![1- a- H- 2 = t = H ⇒ a = 2 .](https://img.zadania.info/zad/8386531/HzadR19x.gif)
Odpowiedź: