Zadanie nr 3509037

Należy zaprojektować wymiary prostokątnego placu zabaw, tak aby szerokość trawnika wzdłuż dłuższych brzegów placu była równa 1,5 m, a szerokość trawnika wzdłuż krótszych brzegów placu była równa 2,5 m (zobacz rysunek – plac zabaw zaznaczono kolorem szarym). Sam plac zabaw ma mieć powierzchnię 2 15 00 m . Wyznacz takie wymiary placu zabaw, przy których powierzchnia placu wraz z trawnikami jest najmniejsza.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez długość krótszego boku placu zabaw. Wtedy dłuższy bok tego placu ma długość y = 150x0- . Musimy teraz znaleźć najmniejszą wartość funkcji

( ) f(x) = (x+ 3)(y+ 5) = (x + 3) ⋅ 1500-+ 5 = 1 500+ 5x + 450-0+ 15 x x

określonej dla √ ----- x ∈ (0, 1500 ) (bo ma być krótszym bokiem placu zabaw). Liczymy pochodną

2 f′(x) = 5 − 4500-= 5⋅ x-−--900-= 5 ⋅ (x-−-3-0)(x+-30). x2 x2 x2

Widać teraz, że pochodna jest ujemna w przedziale (0,3 0) i dodatnia w przedziale √ ----- (3 0, 1500) . To oznacza, że funkcja maleje w przedziale (0,3 0⟩ i rośnie w przedziale √ ----- ⟨30, 15 00) . W takim razie najmniejsze pole otrzymamy dla x = 3 0 . Dłuższy bok placu zabaw ma wtedy długość