Zadanie nr 3884641

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, i w których suma długości dłuższej podstawy i średnicy okręgu wpisanego jest równa 6. Wyznacz wymiary tego spośród tych trapezów, który ma najmniejszy obwód. Oblicz ten obwód.

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Jeżeli oznaczymy długości podstaw trapezu przez b = CD i a = AB > b , to z założenia h = 2r = 6 − a .

Trapez jest opisany na okręgu, więc

a+--b- AD + BC = AB + CD ⇒ AD = 2 .

Obliczmy długość krótszej podstawy trapezu – patrzymy na trójkąt prostokątny CF B .

CF 2 + FB2 = BC 2 ( ) ( ) 2 a− b 2 a+ b 2 (6− a) + -2---- = --2--- 2 a2- ab- b2- a2- ab- b2- 36 − 12a + a + 4 − 2 + 4 = 4 + 2 + 4 2 36 − 12a + a = ab

Zatem 36− 12a+a2 b = ----a---- i obwód trapezu jest równy

L(a) = a + b + 2AD = a + b+ a+ b = 2a + 2b = 7 2− 24a+ 2a2 72− 24a+ 4a2 1 8− 6a + a2 = 2a + -------a------- = ------a--------= 4 ⋅------a------.

Dziedziną tej funkcji jest przedział (3,6) (bo h = 6 − a > 0 i a = AB > 2r = h = 6− a ). Liczymy pochodną funkcji

1- 18-−-6a-+-a2- 18- f(a) = 4L (a) = a = a − 6 + a.

Jest ona równa

√ -- √ -- ′ 18 a2 − 18 (a− 3 2)(a + 3 2) f (a) = − -2-+ 1 = ----2---= ----------2---------. a a a

Widać teraz, że pochodna jest ujemna na przedziale √ -- (3,3 2) i dodatnia na przedziale √ -- (3 2,6) . To oznacza, że funkcja L (a) maleje na przedziale √ -- (3,3 2⟩ i rośnie na przedziale √ -- ⟨3 2,6) . Najmniejszy obwód trapezu otrzymamy więc dla √ -- a = 3 2 . Wtedy