Zadanie nr 3906205

Z odcinka drutu o długości 4 m wykonano ramkę w kształcie rombu z jedną przekątną (zobacz rysunek).

Jaka powinna być długość tej przekątnej, aby pole powierzchni tego rombu było największe możliwe?

Rozwiązanie

Oznaczmy przez długość boku rombu.

Przekątna ma wtedy długość

d = 4− 4x.

Sposób I

Pole rombu możemy obliczyć ze wzoru Herona

∘ ----------------------- p(p − a)(p − b)(p − c)

na pole trójkąta o bokach długości a,b,c i obwodzie . W naszej sytuacji mamy

x+--x+--4−--4x- 4−--2x- p = 2 = 2 = 2 − x p − a = p − b = p− x = (2 − x) − x = 2− 2x p − c = (2 − x) − (4 − 4x ) = 3x − 2.

Pole rombu jest więc równe

∘ ------------------------- ∘ ------------------------ P = 2 (2 − x)(2 − 2x )2(3x − 2) = 4 (2− x)(1− x)2(3x − 2).

W tym miejscu zastanówmy się jeszcze jaka jest dziedzina tej funkcji. Muszą być spełnione warunki:

{ 4 − 4x > 0 ⇐ ⇒ x < 1 x + x > 4 − 4x ⇐ ⇒ 6x > 4 ⇐ ⇒ x > 2. 3

Dziedziną funkcji jest więc przedział (2 ) 3,1 .

Pozostało ustalić jaka jest największa możliwa wartość funkcji

f (x) = (2 − x)(1 − x)2(3x − 2 )

na przedziale ( ) 23,1 .

Jeżeli nie chcemy za dużo się naliczyć, to musimy wykazać się odrobiną sprytu. Zapiszmy wzór funkcji w postaci

f(x ) = (2− x)(1− x)2(3x − 2) = 2 2 2 2 = (1− x) (6x − 4 − 3x + 2x ) = (1− x) (8x − 4 − 3x ).

Liczymy teraz pochodną korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu.

′ [ 2]′ 2 2 2 ′ f (x) = (1 − x ) ⋅(8x − 4 − 3x ) + (1 − x) ⋅(8x − 4 − 3x ) = 2 2 = − 2(1 − x )(8x − 4− 3x )+ (1− x) (8− 6x) = = 2(1 − x )(3x2 − 8x + 4)+ 2(1 − x)(1 − x)(4 − 3x ) = = 2(1 − x )(3x2 − 8x + 4+ 4− 7x + 3x2) = 2(1− x)(6x2 − 15x + 8).

Rozkładamy jeszcze trójmian w nawiasie

2 Δ = 15 − √4⋅8-⋅6 = 2 25− 192 = 33 √ --- 15 − 33 1 5+ 33 x = ----------≈ 0,8 lub x = ---------- ≈ 1,7 . 1 2 12

Pochodna jest więc równa

( √ ---) ( √ ---) 15 − 33 15 + 33 f′(x ) = 12(1 − x) x− ---------- x− ---------- . 1 2 1 2

W interesującej nas dziedzinie funkcji pierwszy nawias jest zawsze dodatni, ostatni jest zawsze ujemny, więc pochodna jest dodatnia na przedziale (2 15− √33) 3, --12--- i ujemna na przedziale ( 15−√ 33- ) --12--,1 . W takim razie funkcja rośnie w przedziale ( 2 15−√-33⟩ 3, 12 i maleje w przedziale ⟨15−√-33 ) 12 ,1 . Największe pole otrzymamy więc dla -- 15−-√33- x = 12 . Przekątna ma wtedy długość

√ --- √ --- √ --- 4− 4x = 4 − 4 ⋅ 15-−--3-3 = 4 − 15-−---3-3 = --3-3−-3-m . 12 3 3

Sposób II

Tak jak poprzednio dochodzimy do problemu wyznaczenia największej wartości funkcji

f(x) = (1 − x)2(2 − x )(3x− 2) = (1 − 2x + x2)(8x − 3x2 − 4) = = − 3x 4 + (6 + 8)x 3 + (− 3 − 16 − 4)x 2 + (8 + 8 )x − 4 = 4 3 2 = − 3x + 14x − 23x + 16x − 4.

Liczymy pochodną

f ′(x ) = − 12x3 + 42x2 − 46x + 16 = − 2(6x3 − 21x 2 + 23x− 8).

Szukamy teraz pierwiastków tego wielomianu – tak się szczęśliwie składa, że jednym z nich jest x = 1 . Dzielimy teraz ten wielomian przez (x− 1) . My zrobimy to grupując wyrazy.