/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema

Zadanie nr 4105440

Rozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym 160 i kącie rozwartym o mierze 150∘ .

  • Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego równoległoboku od długości x boku równoległoboku.
  • Oblicz wymiary tego z rozważanych równoległoboków, który ma największe pole, i oblicz to największe pole.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Jeżeli kąt rozwarty równoległoboku ma miarę 1 50∘ , to jego kąt ostry ma miarę 30∘ .

  • Pole równoległoboku obliczamy ze wzoru na pole z sinusem
    P(x ) = P = AD ⋅AB ⋅sin ∡A = ABCD = x(80 − x) ⋅ 1-= 1x (80− x). 2 2

    Dziedziną tej funkcji jest przedział (0,80) .  
    Odpowiedź: 1 P (x) = 2x (8 0− x) , dla x ∈ (0,80)

  • Wykresem funkcji P(x ) jest parabola o ramionach skierowanych w dół, więc największą wartość pola otrzymamy w wierzchołku paraboli, czyli dla x = 0+-80= 40 2 (w środku między pierwiastkami). Wtedy pole jest równe
    1 P = --⋅40 ⋅40 = 800 . 2

     
    Odpowiedź: Romb o boku 40 i polu 800.

Wersja PDF