/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema

Zadanie nr 4648263

Na bokach prostokąta o obwodzie 16 cm opisano, jako na średnicach, półokręgi leżące na zewnątrz prostokąta. Zbadaj, dla jakich długości boków prostokąta, pole ﬁgury ograniczonej krzywą złożoną z tych czterech półokręgów jest najmniejsze. Oblicz to pole

Wersja PDF

Rozwiązanie

Naszkicujmy sobie opisaną sytuację i oznaczmy boki prostokąta przez i .

Wiemy, że 2a + 2b = 16 , czyli a = 8− b . Pole ﬁgury ograniczonej przez cztery dorysowane łuki jest równe sumie pól kół o średnicach i (bo mamy po dwie połówki takich kół) i pola prostokąta, czyli

a2 b2 π 2 b2 P (b) = ab + π 4--+ π 4--= (8 − b)b + -4(8 − b) + π 4--= ( π ) = --− 1 b2 + (8 − 4π )b+ 16π . 2

Pozostało wyznaczyć wartość b ∈ (0,8) (bo a > 0 ), dla której wartość P (b ) jest najmniejsza. Ponieważ wykresem funkcji P (b) jest parabola o ramionach skierowanych do góry, więc przyjmuje ona wartość najmniejszą w wierzchołku paraboli, czyli w punkcie