/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema

Zadanie nr 4801096

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wewnątrz prostokąta ABCD o wymiarach |AB | = 8 i |AD | = 6 wybrano dwa punkty M i N takie, że MN ∥ AB oraz |AM | = |DM | = |NB | = |NC | . Przy jakiej odległości punktów M i N suma kwadratów długości odcinków AM ,DM ,MN ,NB ,NC jest najmniejsza?

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Jeżeli oznaczymy MN = x to ponieważ trójkąty AMD i BNC są przystające, mamy

EM = EF--−-MN---= 8-−-x-= 4− x. 2 2 2

Możemy teraz wyliczyć interesującą nas sumę kwadratów

2 2 2 2 2 2 2 AM + DM + MN + NB + NC = 4AM + MN = ( ( x )2) = 4(AE 2 + EM 2) + MN 2 = 4 9+ 4 − -- + x2 = ( ) 2 x2- 2 2 2 = 4 9+ 1 6− 4x+ 4 + x = 10 0− 16x + x + x = = 2x 2 − 1 6x+ 100.

Wykresem otrzymanej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych do góry, więc najmniejszą wartość otrzymamy w wierzchołku, czyli dla x = 16 = 4 4 .  
Odpowiedź: MN = 4

Wersja PDF