Zadanie nr 4948674

W trójkącie o obwodzie 14 jeden z boków jest dwa razy dłuższy od drugiego boku. Oblicz cosinus najmniejszego kąta, tego spośród trójkątów spełniających podany warunek, w którym suma kwadratów długości boków jest najmniejsza.

Rozwiązanie

Oznaczmy długości boków szukanego trójkąta przez a,2a,b . W takim razie

a + 2a + b = 14 ⇒ b = 14 − 3a

i suma kwadratów długości boków jest równa

2 2 2 2 2 2 f(a) = a + (2a) + (14 − 3a) = 5a + 1 4 − 6⋅14a + 9a = = 14a 2 − 6 ⋅14a + 14 2 = 14(a2 − 6a + 14).

Wykresem otrzymanej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę, więc najmniejszą wartość przyjmuje w wierzchołku, czyli dla 6 a = 2 = 3 . Wtedy pozostałe boki mają długości 2a = 6 oraz b = 14 − 3a = 5 .

Zwróćmy uwagę na to, że nie przejmowaliśmy się dziedziną funkcji – nie musimy tego robić, bo widać, że otrzymane 3 liczby są rzeczywiście długościami boków trójkąta spełniającego warunki zadania, więc otrzymane na pewno należy do dziedziny.