Zadanie nr 7228546

Dany jest romb ABCD o boku długości 1, w którym kąt BAD jest ostry i sin ∡BAD = 17 . Na bokach AB ,AD i wybrano odpowiednio punkty K ,L i w ten sposób, że odcinki i są równoległe do przekątnych rombu.

Oblicz pole czworokąta .
Oblicz największą możliwą wartość pola trójkąta .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od rysunku.

Zauważmy, że czworokąt jest trapezem, którego wysokość jest równa wysokości rombu. Obliczmy więc najpierw wysokość rombu. Z trójkąta prostokątnego mamy

$DE--= sin∡C = 1- ⇒ DE = 1-. DC 7 7$

Zauważmy, że trójkąty i są podobne odpowiednio do i , czyli są równoramienne. Oznaczmy . Wtedy

$DL = 1− AL = 1 − AK = 1− x CM = 1 − BM = 1 − BK = AK = x.$

Teraz bez problemu obliczamy pole trapezu

$P = DL-+--CM--⋅ DE = 1-−-x-+-x-⋅ 1-= -1-. CDLM 2 2 7 1 4$

Odpowiedź:
Sposób I

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że pole czworokąta stanowi połowę pola rombu (bo pole rombu jest równe ). W szczególności pole tego czworokąta jest stałe i nie zależy od wyboru punktu . To oznacza, że pole trójkąta będzie największe, gdy suma pól trójkątów i będzie najmniejsza. Obliczmy tę sumę (jak w poprzednim podpunkcie przyjmujemy ).

$1 1 PAKL + PKBM = -AK ⋅AL ⋅sin ∡A + --BK ⋅BM ⋅sin ∡B = 2 2 = 1AK 2sin∡A + 1BK 2sin(180∘ − ∡A ) = 2 2 -1- 2 1-- 2 1-- 2 = 14 x + 14(1 − x) = 14(2x − 2x + 1).$

Wykresem otrzymanej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę, która najmniejszą wartość przyjmuje w wierzchołku, czyli dla . Mamy wtedy

$( ) P + P = 1-- 1− 1+ 1 = -1. AKL KBM 14 2 28$

Zatem

$P = 1--− -1-= -1-. KLM 14 28 28$

Sposób II

Tym razem, korzystając z twierdzenia cosinusów, obliczymy wprost pole trójkąta . Obliczmy najpierw i .

$∘ ------- √ -- ∘ ------------ 1 4 3 cos∡A = 1− sin2 ∡A = 1− ---= ----- 49 7 √ -- ∘ 4--3- cos ∡B = cos(1 80 − ∡A ) = − cos∡A = − 7 .$

Liczymy długości odcinków i .

$2 2 2 KL = AK + AL − 2AK ⋅AL co(s ∡A =√ -) 4 3 = 2AK 2(1− co s∡A ) = 2x2 1 − ----- 7 ∘ ------√--- 14-−-8--3- KL = x 7 2 2 2 KM = BK + BM − 2BK ⋅BM cos∡B = ( √ -) = 2BK 2(1 − cos ∡B ) = 2(1 − x)2 1+ 4--3- 7 ∘ -------√--- 14+ 8 3 KM = (1 − x) ---------- 7$

Trójkąt jest prostokątnym, więc

$∘ -------√--- ∘ -------√--- 1- 1- 1-4−--8--3 1-4+--8--3 PKLM = 2 KL ⋅KM = 2 ⋅ x 7 ⋅(1− x) 7 = ∘ ---------√---- 1 142 − (8 3)2 1 = --x(1− x) ------2-------= -x(1 − x). 2 7 7$

wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół, więc największą wartość otrzymamy w wierzchołku, czyli dla (w środku między pierwiastkami). Wartość funkcji jest wtedy równa

$P = 1-⋅ 1-⋅ 1-=-1-. KLM 7 2 2 28$

Odpowiedź: