Zadanie nr 7506387

Rozważamy zbiór wszystkich trapezów równoramiennych, których krótsza podstawa i ramiona mają długość 6. Oblicz, jaką długość powinna mieć dłuższa podstawa tego trapezu, aby jego pole było największe. Oblicz to pole.

Rozwiązanie

Szkicujemy trapez równoramienny.

Sposób I

Oznaczmy AE = FB = x . Wtedy wysokość trapezu jest równa

∘ -------- h = 3 6− x 2,

a jego pole

∘ -------- P (x) = x+--x+--6+--6-⋅h = (x + 6) 36− x2. 2

Pozostało więc wyznaczyć największą możliwą wartość funkcji P(x ) dla x ∈ (0 ,6) (prawy koniec przedziału jest konsekwencją nierówności AE < AD ). Liczymy pochodną (ze wzoru na pochodną iloczynu)

∘ -------- ∘ -------- P′(x) = (x + 6)′ ⋅ 36 − x2 + (x + 6) ⋅( 36 − x 2)′ = ∘ -------- 2 2 = 36− x2 + (x+ 6)⋅ -√-−-2x----= 36-−√x--−-x--−-6x-= 2 36 − x2 36 − x2 2 = −2-(x√-+--3x−--18). 36− x2

Rozkładamy teraz trójmian w liczniku.

Δ = 9 + 72 = 8 1 − 3− 9 − 3 + 9 x = ------- = − 6 ∨ x = ------- = 3 2 2 x 2 + 3x − 1 8 = (x + 6)(x − 3).

Mamy zatem

′ −-2(x-+-6)(x-−--3) P (x) = √ 36-−-x-2 .

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia dla x ∈ (0,3) i ujemna dla x ∈ (3,6) . W takim razie funkcja P(x ) rośnie w przedziale (0,3⟩ i maleje w przedziale ⟨3,6) . Największą wartość tej funkcji otrzymamy więc dla x = 3 . Pole trapezu jest wtedy równe

√ ------- √ --- √ -- P (3) = (3 + 6) 36 − 9 = 9 27 = 2 7 3.

Sposób II

Tak jak w poprzednim sposobie dochodzimy do zależności

∘ ------2- P (x) = (x + 6) 36− x .

Ponieważ x > 0 możemy ten wzór zapisać w postaci

∘ -------- ∘ ------------------ P(x ) = (x+ 6) 36 − x 2 = (x + 6)2(36 − x 2).

Funkcja y = √t- jest rosnąca, więc wystarczy ustalić dla jakiej wartości x ∈ (0 ,6) największą wartość przyjmuje funkcja

2 2 f(x ) = (x + 6) (36 − x ).

Liczymy pochodną

′ 2 ′ 2 2 2 ′ f (x) = [(x + 6) ] (36− x )+ (x+ 6) (36 − x ) = = 2(x+ 6)(36 − x2) + (x + 6)2 ⋅ (−2x ) = 2 2 = 2(x+ 6)(36 − x − x(x + 6)) = − 4 (x+ 6)(x + 3x − 18).

Rozkładamy teraz trójmian w ostatnim nawiasie.

Δ = 9 + 72 = 8 1 x = −-3−--9 = − 6 ∨ x = −-3-+-9 = 3 2 2 x 2 + 3x − 1 8 = (x + 6)(x − 3).

Mamy zatem

′ 2 f (x ) = − 4(x + 6)(x + 6)(x − 3) = −4 (x+ 6) (x− 3).

√ ------- √ --- √ -- P (3) = (3 + 6) 36 − 9 = 9 27 = 2 7 3.

Sposób III

Tak jak w poprzednim sposobie sprowadzamy rozwiązanie zadania do wyznaczenia największej wartości funkcji

f(x ) = (x + 6)2(36 − x2) = (x 2 + 1 2x+ 36)(36 − x2) = = 36x2 + 432x + 1296 − x4 − 12x 3 − 36x 2 = 4 3 = −x − 12x + 432x + 1296.

w przedziale (0 ,6) . Tym razem pochodną obliczymy jednak nie korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu.

f′(x) = − 4x3 − 36x 2 + 4 32 = − 4(x3 + 9x2 − 10 8).

Aby rozłożyć otrzymany wielomian szukamy jego pierwiastków wymiernych. Sprawdzając dzielniki wyrazu wolnego, łatwo znaleźć pierwiastek x = 3 . Dzielimy więc ten wielomian przez (x− 3) . My zrobimy to grupując wyrazy.

3 2 3 2 2 x + 9x − 108 = (x − 3x )+ (1 2x − 36x) + (36x − 1 08) = = (x− 3)(x2 + 12x + 36 ) = (x− 3)(x + 6)2.

Mamy zatem

f ′(x ) = − 4(x + 6)(x + 6)(x − 3) = −4 (x+ 6)2(x− 3).

Dalszą część rozwiązania prowadzimy tak jak w poprzednim sposobie.

Sposób IV

Rozwiązanie zadania znacznie się uprości jeżeli oznaczymy BE = x .

Mamy wtedy

AE = BE − CD = x− 6 ∘ ------------ ∘ -------------- ∘ ------------------- ∘ --------- h = AD 2 − AE 2 = 36 − (x − 6)2 = 36− x2 + 12x − 36 = 12x − x2

i pole trapezu jest równe

AB--+-CD-- x−--6+--x+--6- ∘ --------2 ∘ --------2 ∘ ----3----4 P(x ) = 2 ⋅h = 2 ⋅ 12x − x = x 12x − x = 12x − x .

Badamy teraz funkcję

3 4 f (x) = 12x − x

określoną dla x ∈ (6,1 2) (bo DC < EB < DC + CB ). Liczymy pochodną

′ 2 3 2 f (x ) = 36x − 4x = −4x (x− 9).

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia w przedziale (6,9) i ujemna w przedziale (9 ,12) . To oznacza, że funkcja f(x ) rośnie w przedziale (6,9⟩ i maleje w przedziale ⟨9,12 ) . W takim razie największą wartość pola otrzymamy dla x = 9 . Pole jest wtedy równe