/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema

Zadanie nr 8246716

Rozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym 200 i kącie ostrym o mierze 30∘ .

  • Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego równoległoboku od długości x boku równoległoboku.
  • Oblicz wymiary tego z rozważanych równoległoboków, który ma największe pole, i oblicz to największe pole.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

  • Pole równoległoboku obliczamy ze wzoru na pole z sinusem
    P(x) = PABCD = AD ⋅ AB ⋅sin ∡A = = x(100 − x) ⋅ 1-= 1x(1 00− x). 2 2

    Dziedziną tej funkcji jest przedział (0,100) .  
    Odpowiedź: P(x ) = 1x(10 0− x) 2 , dla x ∈ (0,100)

  • Wykresem funkcji P(x ) jest parabola o ramionach skierowanych w dół, więc największą wartość pola otrzymamy w wierzchołku paraboli, czyli dla x = 0+100 = 50 2 (w środku między pierwiastkami). Wtedy pole jest równe
    1 P = --⋅50 ⋅50 = 1250. 2

     
    Odpowiedź: Romb o boku 50 i polu 1250.

Wersja PDF