/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema

Zadanie nr 8977266

Zgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość 12 dm, a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa 18 dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy trapez równoramienny.

ZINFO-FIGURE

Oznaczmy długość krótszej podstawy trapezu przez x . Wtedy oczywiście x ∈ (0 ,12) (bo ma to być krótsza podstawa). Pole trapezu jest równe

AB--+-CD-- 12-+-x- 1- P(x) = 2 ⋅h = 2 ⋅(18 − x) = − 2(x + 12)(x − 1 8).

Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku w punkcie

x = −-12+--18-= 6-= 3. 2 2

Największą wartość pola otrzymamy więc dla x = 3 . Pole jest wtedy równe

2 P (3) = − 1(3 + 12 )(3− 1 8) = 15--= 225-= 112,5 dm 2. 2 2 2

 
Odpowiedź: Podstawa: 3 dm, pole: 112,5 dm 2

Wersja PDF