Oblicz jakie długości powinny mieć boki prostokąta o polu równym... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Najmniejsza długość, 2450171

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Zadania na ekstrema

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema/Najmniejsza długość

Zadanie nr 2450171

Oblicz jakie długości powinny mieć boki prostokąta o polu równym $S$ , aby jego przekątna miała najmniejszą możliwą długość. Oblicz długość tej przekątnej.

Rozwiązanie

Szkicujemy prostokąt.

Sposób I

Wiemy, że $ab = S$ , a próbujemy ustalić jaka jest najmniejsza możliwa wartość wyrażenia

c2 = a2 + b2 = (a − b)2 + 2ab = (a − b)2 + 2S .

Widać teraz, że najmniejszą możliwą długość przekątnej otrzymamy, gdy $a = b$ . Wtedy

--- c2 = 2S ⇒ c = √ 2S

√ -- a 2 = S ⇒ a = S.

Sposób II

Liczby $a$ i $b$ są rozwiązaniami układu równań

{ ab = S 2 2 2 a + b = c .

Podstawiamy $S a = b$ z pierwszego równania do drugiego i mamy

( ) 2 S- + b2 = c2 / ⋅b2 b 2 4 2 2 S + b − b c = 0 b4 − b2c2 + S2 = 0.

Jest to równanie dwukwadratowe, więc podstawiamy $t = b2$ .

2 2 2 t − c t+ S = 0.

Równanie to musi mieć rozwiązania, więc musi być spełniony warunek

0 ≤ Δ = c4 − 4S 2 √ - 4S 2 ≤ c4 / 4 √ --- 2S ≤ c.

Z drugiej strony widać, że taką wartość długości przekątnej możemy otrzymać, gdy $√ -- a = b = S$ .

Sposób III

Tak jak w poprzednim sposobie ustalamy, że

S2 c2 = -2-+ b2. b

Pozostało teraz wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji

S2 f(b ) = -2-+ b2 = S2b−2 + b2. b

Liczymy pochodną.

2b4 − 2S 2 f′(b) = − 2S2b− 3 + 2b = -----3----, gdzie b > 0. b

Licznik otrzymanego wyrażenia zeruje się dla $√4-2- √ -- b = S = S$ , a na lewo od tego punktu pochodna jest ujemna (czyli funkcja $f$ maleje), na prawo pochodna jest dodatnia (funkcja jest rosnąca). Zatem dla tej wartości $b$ otrzymamy najmniejszą możliwą wartość funkcji $f$ .