/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema/Najmniejsza długość

Zadanie nr 2450171

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz jakie długości powinny mieć boki prostokąta o polu równym S , aby jego przekątna miała najmniejszą możliwą długość. Oblicz długość tej przekątnej.

Rozwiązanie

Szkicujemy prostokąt.

PIC

Sposób I

Wiemy, że ab = S , a próbujemy ustalić jaka jest najmniejsza możliwa wartość wyrażenia

c2 = a2 + b2 = (a − b)2 + 2ab = (a − b)2 + 2S .

Widać teraz, że najmniejszą możliwą długość przekątnej otrzymamy, gdy a = b . Wtedy

--- c2 = 2S ⇒ c = √ 2S

i

√ -- a 2 = S ⇒ a = S.

Sposób II

Liczby a i b są rozwiązaniami układu równań

{ ab = S 2 2 2 a + b = c .

Podstawiamy S a = b z pierwszego równania do drugiego i mamy

( ) 2 S- + b2 = c2 / ⋅b2 b 2 4 2 2 S + b − b c = 0 b4 − b2c2 + S2 = 0.

Jest to równanie dwukwadratowe, więc podstawiamy t = b2 .

2 2 2 t − c t+ S = 0.

Równanie to musi mieć rozwiązania, więc musi być spełniony warunek

0 ≤ Δ = c4 − 4S 2 √ - 4S 2 ≤ c4 / 4 √ --- 2S ≤ c.

Z drugiej strony widać, że taką wartość długości przekątnej możemy otrzymać, gdy √ -- a = b = S .

Sposób III

Tak jak w poprzednim sposobie ustalamy, że

S2 c2 = -2-+ b2. b

Pozostało teraz wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji

S2 f(b ) = -2-+ b2 = S2b−2 + b2. b

Liczymy pochodną.

2b4 − 2S 2 f′(b) = − 2S2b− 3 + 2b = -----3----, gdzie b > 0. b

Licznik otrzymanego wyrażenia zeruje się dla √4-2- √ -- b = S = S , a na lewo od tego punktu pochodna jest ujemna (czyli funkcja f maleje), na prawo pochodna jest dodatnia (funkcja jest rosnąca). Zatem dla tej wartości b otrzymamy najmniejszą możliwą wartość funkcji f .

2 √ -- S2- c = fmin = f( S) = S + S = 2S.

Zatem najmniejsza możliwa długość przekątnej to √ --- c = 2S .  
Odpowiedź: Boki: √ --√ -- S, S , przekątna: √ --- 2S .

Wersja PDF