Zadanie nr 2450171
Oblicz jakie długości powinny mieć boki prostokąta o polu równym , aby jego przekątna miała najmniejszą możliwą długość. Oblicz długość tej przekątnej.
Rozwiązanie
Szkicujemy prostokąt.
Sposób I
Wiemy, że , a próbujemy ustalić jaka jest najmniejsza możliwa wartość wyrażenia

Widać teraz, że najmniejszą możliwą długość przekątnej otrzymamy, gdy . Wtedy

i

Sposób II
Liczby i
są rozwiązaniami układu równań

Podstawiamy z pierwszego równania do drugiego i mamy

Jest to równanie dwukwadratowe, więc podstawiamy .

Równanie to musi mieć rozwiązania, więc musi być spełniony warunek

Z drugiej strony widać, że taką wartość długości przekątnej możemy otrzymać, gdy .
Sposób III
Tak jak w poprzednim sposobie ustalamy, że

Pozostało teraz wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji

Liczymy pochodną.

Licznik otrzymanego wyrażenia zeruje się dla , a na lewo od tego punktu pochodna jest ujemna (czyli funkcja
maleje), na prawo pochodna jest dodatnia (funkcja jest rosnąca). Zatem dla tej wartości
otrzymamy najmniejszą możliwą wartość funkcji
.

Zatem najmniejsza możliwa długość przekątnej to .
Odpowiedź: Boki: , przekątna:
.