Szkicujemy prostokąt.
Sposób I
Wiemy, że , a próbujemy ustalić jaka jest najmniejsza możliwa wartość wyrażenia
Widać teraz, że najmniejszą możliwą długość przekątnej otrzymamy, gdy . Wtedy
i
Sposób II
Liczby i
są rozwiązaniami układu równań
Podstawiamy z pierwszego równania do drugiego i mamy
Jest to równanie dwukwadratowe, więc podstawiamy .
Równanie to musi mieć rozwiązania, więc musi być spełniony warunek
Z drugiej strony widać, że taką wartość długości przekątnej możemy otrzymać, gdy .
Sposób III
Tak jak w poprzednim sposobie ustalamy, że
Pozostało teraz wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji
Liczymy pochodną.
Licznik otrzymanego wyrażenia zeruje się dla , a na lewo od tego punktu pochodna jest ujemna (czyli funkcja
maleje), na prawo pochodna jest dodatnia (funkcja jest rosnąca). Zatem dla tej wartości
otrzymamy najmniejszą możliwą wartość funkcji
.
Zatem najmniejsza możliwa długość przekątnej to .
Odpowiedź: Boki: , przekątna:
.