Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Najmniejsza długość, 3884641

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Zadania na ekstrema

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema/Najmniejsza długość

Zadanie nr 3884641

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, i w których suma długości dłuższej podstawy i średnicy okręgu wpisanego jest równa 6. Wyznacz wymiary tego spośród tych trapezów, który ma najmniejszy obwód. Oblicz ten obwód.

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Jeżeli oznaczymy długości podstaw trapezu przez $b = CD$ i $a = AB > b$ , to z założenia $h = 2r = 6 − a$ .

Trapez jest opisany na okręgu, więc

a+--b- AD + BC = AB + CD ⇒ AD = 2 .

Obliczmy długość $b$ krótszej podstawy trapezu – patrzymy na trójkąt prostokątny $CF B$ .

CF 2 + FB2 = BC 2 ( ) ( ) 2 a− b 2 a+ b 2 (6− a) + -2---- = --2--- 2 a2- ab- b2- a2- ab- b2- 36 − 12a + a + 4 − 2 + 4 = 4 + 2 + 4 2 36 − 12a + a = ab

Zatem $36− 12a+a2 b = ----a----$ i obwód trapezu jest równy

L(a) = a + b + 2AD = a + b+ a+ b = 2a + 2b = 7 2− 24a+ 2a2 72− 24a+ 4a2 1 8− 6a + a2 = 2a + -------a------- = ------a--------= 4 ⋅------a------.

Dziedziną tej funkcji jest przedział $(3,6)$ (bo $h = 6 − a > 0$ i $a = AB > 2r = h = 6− a$ ). Liczymy pochodną funkcji

1- 18-−-6a-+-a2- 18- f(a) = 4L (a) = a = a − 6 + a.

Jest ona równa

√ -- √ -- ′ 18 a2 − 18 (a− 3 2)(a + 3 2) f (a) = − -2-+ 1 = ----2---= ----------2---------. a a a

Widać teraz, że pochodna jest ujemna na przedziale $√ -- (3,3 2)$ i dodatnia na przedziale $√ -- (3 2,6)$ . To oznacza, że funkcja $L (a)$ maleje na przedziale $√ -- (3,3 2⟩$ i rośnie na przedziale $√ -- ⟨3 2,6)$ . Najmniejszy obwód trapezu otrzymamy więc dla $√ -- a = 3 2$ . Wtedy