Zadanie nr 3884641
Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, i w których suma długości dłuższej podstawy i średnicy okręgu wpisanego jest równa 6. Wyznacz wymiary tego spośród tych trapezów, który ma najmniejszy obwód. Oblicz ten obwód.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Jeżeli oznaczymy długości podstaw trapezu przez i
, to z założenia
.
Trapez jest opisany na okręgu, więc

Obliczmy długość krótszej podstawy trapezu – patrzymy na trójkąt prostokątny
.

Zatem i obwód trapezu jest równy

Dziedziną tej funkcji jest przedział (bo
i
). Liczymy pochodną funkcji

Jest ona równa

Widać teraz, że pochodna jest ujemna na przedziale i dodatnia na przedziale
. To oznacza, że funkcja
maleje na przedziale
i rośnie na przedziale
. Najmniejszy obwód trapezu otrzymamy więc dla
. Wtedy

Obwód jest wtedy równy

Odpowiedź: Podstawy: , ramię:
, obwód:
.