Zadanie nr 3884641

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, i w których suma długości dłuższej podstawy i średnicy okręgu wpisanego jest równa 6. Wyznacz wymiary tego spośród tych trapezów, który ma najmniejszy obwód. Oblicz ten obwód.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Jeżeli oznaczymy długości podstaw trapezu przez b = CD i a = AB > b , to z założenia h = 2r = 6 − a .

Trapez jest opisany na okręgu, więc

a+--b- AD + BC = AB + CD ⇒ AD = 2 .

Obliczmy długość krótszej podstawy trapezu – patrzymy na trójkąt prostokątny CF B .

CF 2 + FB2 = BC 2 ( ) ( ) 2 a− b 2 a+ b 2 (6− a) + -2---- = --2--- 2 a2- ab- b2- a2- ab- b2- 36 − 12a + a + 4 − 2 + 4 = 4 + 2 + 4 2 36 − 12a + a = ab

Zatem 36− 12a+a2 b = ----a---- i obwód trapezu jest równy

L(a) = a + b + 2AD = a + b+ a+ b = 2a + 2b = 7 2− 24a+ 2a2 72− 24a+ 4a2 1 8− 6a + a2 = 2a + -------a------- = ------a--------= 4 ⋅------a------.

Dziedziną tej funkcji jest przedział (3,6) (bo h = 6 − a > 0 i a = AB > 2r = h = 6− a ). Liczymy pochodną funkcji

1- 18-−-6a-+-a2- 18- f(a) = 4L (a) = a = a − 6 + a.

Jest ona równa

√ -- √ -- ′ 18 a2 − 18 (a− 3 2)(a + 3 2) f (a) = − -2-+ 1 = ----2---= ----------2---------. a a a

Widać teraz, że pochodna jest ujemna na przedziale √ -- (3,3 2) i dodatnia na przedziale √ -- (3 2,6) . To oznacza, że funkcja L (a) maleje na przedziale √ -- (3,3 2⟩ i rośnie na przedziale √ -- ⟨3 2,6) . Najmniejszy obwód trapezu otrzymamy więc dla √ -- a = 3 2 . Wtedy