Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4948674

W trójkącie o obwodzie 14 jeden z boków jest dwa razy dłuższy od drugiego boku. Oblicz cosinus najmniejszego kąta, tego spośród trójkątów spełniających podany warunek, w którym suma kwadratów długości boków jest najmniejsza.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Oznaczmy długości boków szukanego trójkąta przez a,2a,b . W takim razie

a + 2a + b = 14 ⇒ b = 14 − 3a

i suma kwadratów długości boków jest równa

 2 2 2 2 2 2 f(a) = a + (2a) + (14 − 3a) = 5a + 1 4 − 6⋅14a + 9a = = 14a 2 − 6 ⋅14a + 14 2 = 14(a2 − 6a + 14).

Wykresem otrzymanej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę, więc najmniejszą wartość przyjmuje w wierzchołku, czyli dla  6 a = 2 = 3 . Wtedy pozostałe boki mają długości 2a = 6 oraz b = 14 − 3a = 5 .

Zwróćmy uwagę na to, że nie przejmowaliśmy się dziedziną funkcji f – nie musimy tego robić, bo widać, że otrzymane 3 liczby są rzeczywiście długościami boków trójkąta spełniającego warunki zadania, więc otrzymane a na pewno należy do dziedziny.

W trójkącie najmniejszy kąt leży naprzeciwko najkrótszego boku, więc musimy wyliczyć cosinus kąta leżącego naprzeciwko boku długości 3.


PIC


Stosujemy twierdzenie cosinusów.

 2 2 2 BC = AC + AB − 2AC ⋅AB cosα 9 = 25 + 36 − 2 ⋅5⋅ 6cos α 60cos α = 52 ⇒ cos α = 5-2 = 13-. 6 0 15

 
Odpowiedź: 1135

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!