/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema/Najmniejsza długość

Zadanie nr 9296688

Suma długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równa 7. Jaka jest najmniejsza możliwa długość przeciwprostokątnej tego trójkąta?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy trójkąt prostokątny.


PIC


Z założenia b = 7 − a , więc

c2 = a2 + b2 = a2 + (7− a)2 = 2a2 − 14a + 49 .

Wykresem otrzymanego wyrażenia jest parabola o ramionach skierowanych w górę i wierzchołku w punkcie

 14- 7- aw = 4 = 2.

W takim razie najmniejszą możliwą wartość c otrzymamy dla a = 72 . Wtedy b = 7 2 i

 2 2 2 49- 49- 2⋅49-- c = a + b = 4 + 4 = 4 ,

czyli  √ - c = 7-2- 2 .  
Odpowiedź: 7√ 2 --2-

Wersja PDF
spinner