Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9733258

Suma długości dwóch boków trójkąta wynosi 6 cm, a miara kąta pomiędzy tymi bokami wynosi 60∘ . Jaką najmniejszą wartość ma obwód tego trójkąta.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Przy oznaczeniach z rysunku, na mocy twierdzenia cosinusów mamy

 2 2 2 ∘ 2 2 2 c = a + b − 2abc os60 = a + b − ab = (a+ b) − 3ab = 36 − 3ab.

PIC


Pytanie jest zatem następujące: wiemy, że a + b = 6 , jaka jest najmniejsza wartość wyrażenia 36 − 3ab ? Liczymy

f(a) = 36− 3ab = 36 − 3a (6− a) = 3a2 − 18a + 36.

Dziedziną tej funkcji jest przedział (0,6) . Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych do góry i wierzchołku w punkcie

 18 aw = -6-= 3.

Zatem minimalny obwód otrzymamy dla trójkąta równobocznego o boku 3 cm.  
Odpowiedź: 9 cm

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!