Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6714892

Wyznacz miejsca zerowe funkcji  3 2 2 f (x ) = log2(−x − 4x + 3x + 18 )− log 2(− 2x − 2x+ 12) .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Powinniśmy rozpocząć od wyznaczenia dziedziny funkcji, ale zostawimy to sobie na koniec – po prostu sprawdzimy otrzymane rozwiązanie.

Rozwiązujemy równanie (korzystamy z różnowartościowości logarytmu)

 3 2 2 log 2(−x − 4x + 3x+ 18) = log2(− 2x − 2x + 12) − x3 − 4x2 + 3x + 18 = − 2x2 − 2x + 12 3 2 0 = x + 2x − 5x− 6.

Szukamy teraz miejsc zerowych prawej strony – łatwo zauważyć, że jednym z nich jest x = − 1 . Dzielimy teraz ten wielomian przez x + 1 . My jak zwykle zrobimy to grupując wyrazy.

x3 + 2x2 − 5x − 6 = (x 3 + x2)+ (x 2 + x )− (6x+ 6) = 2 2 = x (x+ 1)+ x(x + 1) − 6(x + 1) = (x + 1 )(x + x− 6).

Zauważmy teraz, że miejsca zerowe wielomianu w nawiasie (czyli x = − 3 i x = 2 ) są dokładnie takie same jak miejsca zerowe wielomianu w drugim z logarytmów

 [ ] log2(− 2x2 − 2x + 1 2) = log2 −2 (x2 + x− 6) ,

w takim razie liczby te nie należą do dziedziny równania. Z drugiej strony, łatwo sprawdzić, że dla x = − 1 mamy

 3 2 log2(−x − 4x + 3x + 18 ) = lo g2(1− 4− 3+ 18) = log2 12 log2(− 2x2 − 2x + 12 ) = lo g2(− 2+ 2+ 12) = log2 12.

Jedynym miejscem zerowym funkcji f jest więc x = − 1 .

Sposób II

Tym razem postępujmy bardziej szkolnie i rozpocznijmy od wyznaczenia dziedziny równania.

{ 3 2 −x − 4x + 3x + 18 > 0 / ⋅(− 1) − 2x 2 − 2x + 1 2 > 0 / : (− 2) { x3 + 4x 2 − 3x − 18 < 0 2 x + x − 6 < 0

Rozwiążmy najpierw drugą nierówność

 2 Δ = 1 + 24 = 2 5 = 5 −-1−--5 −-1-+-5 x1 = 2 = − 3, x2 = 2 = 2 x ∈ (− 3,2 ).

Teraz zajmijmy się wielomianem stopnia 3 – łatwo zauważyć, że jednym z jego pierwiastków jest x = 2 . Dzielimy teraz ten wielomian przez x − 2 . My jak zwykle zrobimy to grupując wyrazy.

 3 2 3 2 2 x + 4x − 3x − 18 = (x − 2x ) + (6x − 12x )+ (9x − 18) = 2 = x (x − 2) + 6x (x− 2)+ 9(x− 2) = = (x − 2)(x2 + 6x + 9 ) = (x− 2)(x + 3)2.

To oznacza, że rozwiązaniem pierwszej nierówności jest zbiór

(− ∞ ,− 3) ∪ (− 3,2)

i dziedziną funkcji f jest przedział (− 3,2) . Powyższe rozkłady pozwalają nam też bardzo uprościć wzór funkcji f

f (x) = log2(−x 3 − 4x2 + 3x + 1 8)− log 2(−2x 2 − 2x+ 12) = 2 = log2(− (x − 2)(x + 3) ) − log2(− 2(x + 3)(x − 2 )) = − (x− 2)(x + 3)2 x + 3 = log2 ------------------= log 2------. − 2(x+ 3)(x − 2) 2

Pozostało rozwiązać równanie

x + 3 --2---= 1 ⇐ ⇒ x + 3 = 2 ⇐ ⇒ x = − 1.

Liczba ta oczywiście należy do dziedziny równania.  
Odpowiedź: x = −1

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!