Zaczynamy od rysunku i od razu zauważmy, że to dokładnie miara kąta środkowego
.
to długość przekątnej możemy wyliczyć z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta
.
Pozostało sprawdzić, czy liczba ta zgadza się z podaną wartością – liczymy jej kwadrat.
Obie liczby są więc równe.
Sposób I
Długość odcinka możemy wyliczyć z trójkąta prostokątnego
, musimy jednak najpierw wyliczyć długość odcinka
(do niczego nam to niepotrzebne, ale jest to promień okręgu opisanego na pięciokącie). Długość tego odcinka wyliczamy z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta
Liczymy teraz szukaną długość odcinka
Sposób II
Podobnie jak poprzednio patrzymy na trójkąt prostokątny , ale tym razem wyliczymy tangens kąta
. Aby to zrobić korzystamy ze wzorów
Z tych wzorów mamy
Stąd
I dalej
Sposób III
Tym razem rozpatrzmy trójkąt równoramienny , gdzie
i
to środki kolejnych boków pięciokąta.
Dwa z jego boków są równe promieniowi okręgu wpisanego w pięciokąt, a trzeci bok ma długość równą połowie przekątnej. Ponieważ prosta
zawiera wysokość tego trójkąta, mamy
Długość przekątnej wyliczyliśmy w poprzednim punkcie, pozostało więc wyliczyć
. Zrobimy to korzystając ze wzoru
Dla mamy
Stąd mamy
Odpowiedź:
Dla ciekawskich.
Ponieważ pole pięciokąta jest równe
, więc
Liczba , która pojawiła się w treści zadania to tak zwana złota liczba, ma ona wiele interesujących własności. Polecam wygooglać sobie ’pięciokąt foremy’, ’złoty podział’ lub ’golden ratio’.