/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Wielokąty/Pięciokąt

Zadanie nr 1557231

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz sumę miar kątów utworzonych przez przekątne pięciokąta wypukłego.

PIC

Rozwiązanie

Zauważmy, że przy użyciu oznaczonych kątów α,β,γ ,δ,𝜀 łatwo wyznaczyć kąty wewnętrzne pięciokąta P QRST .

PIC

Mamy więc

∘ ∡T PQ = ∡EP C = 180 − 𝜀 − γ ∡P QR = ∡AQD = 180∘ − α − δ ∘ ∡QRS = ∡BRE = 180 − β − 𝜀 ∡RST = ∡CSA = 180 ∘ − α − γ ∘ ∡ST P = ∡DT B = 18 0 − β− δ.

Teraz korzystamy z tego, że suma kątów w pięciokącie P QRST jest równa

(5 − 2) ⋅180∘ = 540∘.

Mamy zatem

∘ 540 = ∡T P Q + ∡P QR + ∡QRS + ∡RST + ∡ST P = = 5⋅ 180∘ − 2(α + β + γ + δ + 𝜀).

Stąd

2(α+ β+ γ + δ + 𝜀) = 900∘ − 54 0∘ = 360∘ ∘ α+ β+ γ + δ + 𝜀 = 180 .

 
Odpowiedź: ∘ 180

Wersja PDF