Zadanie nr 2300653
Pięciokąt jest wpisany w okrąg. Przekątne
i
tego pięciokąta przecinają przekątną
w punktach
i
odpowiednio (zobacz rysunek).
Udowodnij, że jeżeli punkty i
leżą na jednym okręgu, to
.
Rozwiązanie
Musimy udowodnić, że trójkąt jest równoramienny, czyli że
. Oznaczmy
,
i dorysujmy przekątną
.
Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe, więc
![∡CEB = ∡CAB = α ∡CED = ∡CBD = β.](https://img.zadania.info/zad/2300653/HzadR6x.png)
Wiemy, że na czworokącie można opisać okrąg, więc
![∘ ∘ ∡KLD = 180 − ∡KED = 180 − α − β .](https://img.zadania.info/zad/2300653/HzadR8x.png)
Patrzymy teraz na trójkąt .
![∡BLC = ∡KLD = 180 ∘ − α − β ∘ ∘ ∘ ∡BCL = 18 0 − ∡CBL − ∡BLC = 180 − β − (18 0 − α− β) = α.](https://img.zadania.info/zad/2300653/HzadR10x.png)
Zatem faktycznie trójkąt jest równoramienny i
.