/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Wielokąty/Pięciokąt

Zadanie nr 2300653

Pięciokąt ABCDE jest wpisany w okrąg. Przekątne BD i BE tego pięciokąta przecinają przekątną AC w punktach L i K odpowiednio (zobacz rysunek).


ZINFO-FIGURE


Udowodnij, że jeżeli punkty K, L, D i E leżą na jednym okręgu, to |AB | = |BC | .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Musimy udowodnić, że trójkąt ABC jest równoramienny, czyli że ∡ACB = ∡CAB . Oznaczmy ∡BAC = α , ∡CBD = β i dorysujmy przekątną CE .


ZINFO-FIGURE


Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe, więc

 ∡CEB = ∡CAB = α ∡CED = ∡CBD = β.

Wiemy, że na czworokącie KLDE można opisać okrąg, więc

 ∘ ∘ ∡KLD = 180 − ∡KED = 180 − α − β .

Patrzymy teraz na trójkąt BCL .

∡BLC = ∡KLD = 180 ∘ − α − β ∘ ∘ ∘ ∡BCL = 18 0 − ∡CBL − ∡BLC = 180 − β − (18 0 − α− β) = α.

Zatem faktycznie trójkąt ABC jest równoramienny i AB = BC .

Wersja PDF
spinner