Zadanie nr 2296141
Dany jest okrąg o równaniu
. W pierwszej „ćwiartce” układu współrzędnych istnieją dwa okręgi
styczne zewnętrznie do okręgu
i jednocześnie styczne do obu osi układu współrzędnych. Oblicz odległość środków okręgów
oraz
.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Zauważmy, że okrąg, który jest zawarty w I ćwiartce układu i jest styczny do obu osi układu musi mieć środek na prostej
oraz promień równy współrzędnym środka. Szukamy więc okręgów postaci

Pozostało teraz zapisać informację o tym, że okrąg ten ma być styczny zewnętrznie do danego okręgu o środku i promieniu 1. Dwa okręgi są styczne zewnętrznie, gdy odległość ich środków jest równa sumie ich promieni. Musimy więc rozwiązać równanie

Środki okręgów i
mają więc współrzędne
i
. Odległość tych punktów to

Odpowiedź: