/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Okrąg/Wzajemnie styczne

Zadanie nr 5216866

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dane są dwa okręgi o równaniach 2 2 (x − 3) + y = 1 6 i 2 2 2 x + (y− m) = m , m > 0 . Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których te okręgi mają jeden punkt wspólny.

Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli okręgi mają mieć jeden punkt wspólny, to muszą być styczne, czyli odległość ich środków musi być równa sumie lub różnicy ich promieni (w zależności od tego, czy styczność ma być zewnętrzna, czy wewnętrzna). Pierwszy okrąg ma środek S1 = (3,0 ) i promień r1 = 4 , a drugi ma środek S 2 = (0,m ) i promień r2 = m . Mamy zatem 3 możliwości

S1S2 = r1 + r2 lub S 1S2 = r1 − r2 lub S1S 2 = r2 − r1 ∘ ------- ∘ ------- ∘ ------- 9 + m 2 = 4 + m lub 9+ m 2 = 4− m lub 9+ m 2 = m − 4 9+ m 2 = 16+ 8m + m2 lub 9 + m 2 = m 2 − 8m + 16 8m = − 7 lub 8m = 7.

Ponieważ z założenia m > 0 , mamy stąd 7 m = 8 .

Sposób II

Musimy ustalić kiedy układ równań

{ (x − 3)2 + y2 = 16 2 2 2 x + (y − m ) = m { 2 2 x − 6x + y = 7 x2 + y2 − 2my = 0

ma dokładnie jedno rozwiązanie. Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

− 6x− 7 6x + 2my = − 7 ⇒ y = --------. 2m

Podstawiamy tę wartość y do pierwszego równania i mamy

( − 6x − 7) 2 (x − 3)2 + --------- = 16 / ⋅4m 2 2m 4m 2x2 − 24xm 2 + 36m 2 + 36x2 + 84x + 4 9 = 64m 2 (4m 2 + 36)x2 + (84 − 24m 2)x − 28m 2 + 49 = 0 .

Powyższe równanie ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie, więc musi być spełniony warunek

0 = Δ = (84 − 24m 2)2 − 4(4m 2 + 36)(49 − 28m 2) = 2 4 2 4 = 705 6− 4032m + 576m − 4(1764 − 812m − 112m ) = ( 49 ) ( 7) ( 7) = 102 4m 4 − 78 4m 2 = 1024m 2 m 2 − --- = 1 024m 2 m − -- m + -- . 64 8 8

Ponieważ interesują nas tylko dodatnie wartości m , mamy stąd m = 7 8 .

Na koniec obrazek.

PIC

 
Odpowiedź: m = 78

Wersja PDF