Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7309775

Wyznacz równanie okręgu stycznego wewnętrznie do okręgu o równaniu (x − 2)2 + y2 = 4 i do prostej y = 0 , którego środek ma współrzędne różnych znaków i leży na wykresie funkcji y = −x 3 + 14 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Dany okrąg to oczywiście okrąg o środku A = (2,0) i promieniu r1 = 2 . Szkicujemy tę sytuację.


PIC


Z rysunku powinno być jasne, że środek S = (a,b) każdego okręgu wewnętrznie stycznego do danego okręgu i do prostej y = 0 ma pierwszą współrzędną dodatnią, więc możemy założyć, że b < 0 (bo z założenia współrzędne punktu S mają być różnych znaków). Styczność do osi Oy oznacza, że promień r2 szukanego okręgu jest równy |b| = −b . Szukamy więc okręgu postaci

(x− a)2 + (y − b )2 = b2.

Teraz spróbujmy rozszyfrować styczność wewnętrzną szukanego i danego okręgu. Dwa okręgi są styczne wewnętrznie, gdy różnica długości ich promieni jest równa odległości ich środków. Mamy zatem

 AS 2 = (r − r )2 1 2 (a − 2)2 + b2 = (2 + b)2 2 2 2 a − 4a + 4+ b = 4 + 4b + b 2 1- 2 a − 4a = 4b ⇒ b = 4a − a.

Teraz pozostało wykorzystać informację o tym, że punkt S leży na wykresie funkcji y = −x 3 + 1 4 . Otrzymujemy stąd b = −a 3 + 1 4 , co prowadzi do równania

1 1 --a2 − a = −a 3 + -- / ⋅4 4 3 2 4 4a + a − 4a − 1 = 0 2 a (4a + 1) − (4(a + 1))= 0 ( ) 2 1- 1- 0 = 4(a − 1) a+ 4 = 4(a − 1)(a + 1) a + 4 .

Ponieważ interesują nas tylko dodatnie wartości a , mamy stąd a = 1 . Zatem  1 2 3 b = 4a − a = − 4 ,  3 r2 = −b = 4 i szukany okrąg ma równanie

 ( ) 2 (x− 1)2 + y + 3- = 9-- 4 16

 
Odpowiedź:  ( ) (x − 1)2 + y + 3 2 = 9- 4 16

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!