Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8386114

Dany jest okrąg o0 o równaniu  2 2 (x + 2) + (y − 6 ) = 4 . W drugiej „ćwiartce” układu współrzędnych istnieją dwa okręgi o1, o2 styczne zewnętrznie do okręgu o0 i jednocześnie styczne do obu osi układu współrzędnych. Oblicz odległość środków okręgów o 1 oraz o 2 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Zauważmy, że okrąg, który jest zawarty w II ćwiartce układu i jest styczny do obu osi układu musi mieć środek A na prostej y = −x oraz promień równy wartości bezwzględnej współrzędnych środka. Szukamy więc okręgów postaci

 2 2 2 (x+ a) + (y − a ) = a ,

dla pewnego a > 0 . Pozostało teraz zapisać informację o tym, że okrąg ten ma być styczny zewnętrznie do danego okręgu o środku (−2 ,6) i promieniu 2. Dwa okręgi są styczne zewnętrznie, gdy odległość ich środków jest równa sumie ich promieni. Musimy więc rozwiązać równanie

SA = 2 + a 2 2 SA = (2 + a) (− 2 + a)2 + (6− a)2 = 4 + 4a + a2 4 − 4a + a2 + 36 − 12a + a2 = 4 + 4a + a 2 2 a − 20a + 36 = 0 Δ = 400 − 144 = 256 20− 16 20 + 16 a = --------= 2 ∨ a = --------= 18. 2 2

Środki okręgów o1 i o2 mają więc współrzędne A 1 = (− 2,2) i A 2 = (− 18,18) . Odległość tych punktów to

 ∘ --------------------------- √ ------ √ -- A 1A2 = (− 18− (− 2))2 + (18− 2)2 = 162 ⋅2 = 16 2 .

 
Odpowiedź:  √ -- 16 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!