/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Kwadrat

Zadanie nr 1271760

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Na bokach AD , DC i CB kwadratu ABCD wybrano punkty K , M i L ten sposób, że |DK | = 2|KA | , |DM | = 2 |MC | , oraz |BL | = 2|LC | .

  • Uzasadnij, że trójkąt KLM jest prostokątny.
  • Oblicz tangensy kątów ostrych trójkąta KLM .
PIC

Rozwiązanie

  •  

    Sposób I

    Z podanych informacji wynika, że trójkąty DKM i MLC są równoramienne. W szczególności miary ich kątów ostrych wynoszą ∘ 45 . Stąd

    ∡KML = 180∘ − ∡KMD − ∡LMC = 90∘.

    Sposób II

    Na mocy twierdzenia Talesa prosta KM jest równoległa do przekątnej AC . Podobnie, prosta LM jest równoległa do przekątnej BD . Ponieważ przekątne kwadratu są prostopdałe, to prostopadłe są również proste KM i LM .

  • Oznaczmy bok kwadratu przez a . Korzystając z twierdzenia Pitagorasa wyliczmy długości odcinków KM i LM .
    ∘ ------------------ √ -- ∘ ------------- ( 2 ) 2 ( 2 ) 2 2 2 KM = KD 2 + DM 2 = -a + -a = -----a ∘ ---3---------3---- 3 ∘ ------------ ( )2 ( ) 2 √ -- LM = MC 2 + CL 2 = 1a + 1a = --2a. 3 3 3

    Stąd szukane tangensy wynoszą

    √ - ML -32a 1 tg ∡MKL = ---- = 2√2--= -- MK -3--a 2 2√2- tg ∡MLK = MK-- = √3--a= 2. ML --2a 3

     
    Odpowiedź: 1 2 i 2

Wersja PDF