/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Kwadrat

Zadanie nr 6698959

Dwa kwadraty ABCD i AEF G o boku długości 2 nałożono na siebie tak jak na rysunku poniżej. Oblicz pole pięciokąta ABCP E .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Interesujący nas pięciokąt składa się z dwóch równoramiennych trójkątów prostokątnych: ABC i CEP .

PIC

Ponadto, EC = AC − AE = 2√ 2-− 2 . W takim razie

1 2 1 √ -- 2 √ -- 2 PABCPE = PABC + PCEP = 2 ⋅ 2 + 2-⋅(2 2 − 2) = 2 + 2( 2 − 1) = √ -- √ -- = 2+ 4− 4 2+ 2 = 8 − 4 2.

Sposób II

Tym razem obliczmy najpierw pole czworokąta AEP D .

1 2 1 √ -- 2 √ -- 2 PAEPD = PAEF − PDPF = 2-⋅2 − 2-(2 2− 2) = 2− 2( 2 − 1) = √ -- √ -- = 2 − 4+ 4 2 − 2 = − 4 + 4 2.

Stąd

√ -- √ -- PABCPE = PABCD − PAEPD = 4− (−4 + 4 2) = 8− 4 2.

 
Odpowiedź: √ -- 8 − 4 2

Wersja PDF