Zadanie nr 9967350

Na zewnątrz kwadratu ABCD na bokach i zbudowano trójkąty równoboczne AEB i BF C . Uzasadnij, że proste i są prostopadłe.

Rozwiązanie

Sposób I

Patrzymy na trójkąt DGC . Pokażemy, że w tym trójkącie ∘ ∡DGC = 90 .

Zauważmy najpierw, że każdy z trójkątów DF C i CEB jest równoramienny oraz

∘ ∘ ∡DCF = ∡CBE = 90 + 60 .

Trójkąty DF C i CEB są więc przystające. W szczególności

∡BCE = ∡CDG .

Patrzymy na trójkąt DGC .

∡DGC = 180∘ − ∡CDG − ∡DCG = ∘ ∘ = 180 − ∡CDG − (90 − ∡BCE ) = = 90∘ − (∡CDG − ∡BCE ) = 9 0∘.

Sposób II

Tak jak poprzednio stwierdzamy, że trójkąty DF C i CEB są równoramienne i kąt między ramionami ma miarę 90 ∘ + 6 0∘ = 150∘ . Zatem

18-0∘ −-150∘ ∘ ∡ECB = 2 = 1 5 .

Zatem

∡DCG = 90∘ − 15∘ = 7 5∘.

To oznacza, że prosta jest dwusieczną w trójkącie równoramiennym DCF . Dwusieczna kąta między ramionami kąta w trójkącie równoramiennym pokrywa się z jego wysokością, zatem prosta jest prostopadła do .

Sposób III

Dorysujmy odcinki i . Zauważmy, że trójkąty DAE i DCF są równoramienne ( DA = AE = DC = CF ) oraz w każdym z nich kąt między ramionami ma miarę ∘ ∘ ∘ 9 0 + 60 = 150 . Trójkąty te są więc przystające, czyli DE = FE . To jednak oznacza, że czworokąt DEF C jest deltoidem. Przekątne deltoidu są prostopadłe, czyli DF ⊥ CE .