Zadanie nr 4577179

Powierzchnia boczna stożka jest po rozwinięciu ćwiartką koła o promieniu 16 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego stożka.

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

Zauważmy, że z podanych informacji wynika, że tworząca stożka ma długość 16. Ponadto, długość ćwiartki okręgu o promieniu 16 jest równa

2π--⋅16 4 = 8 π,

co pozwala wyliczyć promień podstawy stożka, bo wyliczona długość to dokładnie długość okręgu w podstawie stożka. Mamy więc

2πr = 8π ⇒ r = 4.

To z kolei pozwala wyliczyć wysokość stożka

∘ -------- ∘ --------- √ --- h = 162 − r2 = 16 2 − 16 = 4 15.

Liczymy teraz objętość i pole powierzchni całkowitej

√ --- 1 2 1 √ --- 64π 15 V = -πr ⋅H = -⋅π ⋅16⋅ 4 15 = --------- 3 2 3 3 Pc = πrl + πr = πr(l + r) = 4π (4+ 16) = 80π .

Odpowiedź: √ -- V = 64π--15cm 3, Pc = 80π cm 2 3