Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6015402

Połówkę koła o promieniu 12 zwinięto w stożek. Oblicz objętość i kąt rozwarcia tego stożka jeżeli długość łuku tej połówki koła jest obwodem podstawy, a jej promień jest tworzącą stożka.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Najtrudniejsze w tym zadaniu to wyobrazić sobie o co chodzi. Najłatwiej chyba myśleć od końca: jeżeli rozetniemy stożek wzdłuż tworzącej to dostajemy wycinek kołowy. Tu robimy na odwrót, zaczynamy od wycinka koła (który akurat jest połówką koła) i sklejamy z tego stożek.


PIC


Obliczmy promień podstawy stożka. Wiemy, że długość okręgu w podstawie jest równa łukowi półkola, czyli wynosi

1-⋅2 π ⋅12 = 12 π. 2

Z drugiej strony jest ona równa 2πr . Stąd r = 6 . Zatem AB = 12 i trójkąt ABC jest równoboczny, czyli kąt rozwarcia stożka wynosi 60 ∘ .

Wysokość stożka możemy łatwo wyliczyć ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym.

 √ -- √ -- H = 12--3-= 6 3. 2

Zatem jego objętość jest równa

 1 1 √ -- √ -- V = -πr 2 ⋅H = -π ⋅36 ⋅6 3 = 72 3π . 3 3

 
Odpowiedź:  √ -- 60∘, V = 72 3π

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!