Zadanie nr 9802980
Do naczynia w kształcie odwróconego stożka wrzucono kulkę o promieniu . Oceń, czy kulka będzie wystawać nad brzeg naczynia. Uzasadnij odpowiedź wykonując odpowiednie obliczenia, jeżeli wiadomo, że wysokość stożka wynosi 12 cm a promień podstawy 4 cm.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od rysunku – rysujemy przekrój osiowy opisanej sytuacji.
Sposób I
Ułóżmy najpierw plan działań. Jeżeli oznaczmy przez kąt rozwarcia stożka, to z podanych wysokości i promienia będziemy mogli wyliczyć funkcje trygonometryczne kąta
(lewy obrazek). To z kolei pozwoli obliczyć długość odcinka
(prawy rysunek), a w konsekwencji też
. Na koniec sprawdzimy, czy
, czy też nie – od tego będzie zależała odpowiedź.
Liczymy. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie mamy

Zatem

Teraz patrzymy na trójkąt na prawym obrazku.

Zatem

Zatem kulka będzie wystawać ze stożka.
Sposób II
Tym razem postąpimy inaczej: obliczmy promień kuli wpisanej w stożek o podanych wymiarach i sprawdzimy, czy promień ten jest większy, czy też mniejszy od 3 cm.
Patrzymy na trójkąt równoramienny otrzymany w przekroju stożka. Jego pole jest równe

Korzystamy teraz ze wzoru na pole , gdzie
jest połową obwodu, a
promieniem okręgu wpisanego.

W takim razie kulka o promieniu 3 cm nie zmieści się w tym stożku.
Odpowiedź: Kulka będzie wystawać ponad brzeg naczynia.