Zadanie nr 4518232
Trójkąt podzielony jest przez dwie proste równoległe do boku
, na trzy figury o równych polach. Oblicz na jakie części proste te podzieliły bok
.
Rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia z rysunku.
Sposób I
Skoro trzy otrzymane części mają równe pola, mamy
![PEBG = 1-PABC 3 1- 1- 2- PDBF = PDEGF + PEBG = 3PABC + 3PABC = 3PABC .](https://img.zadania.info/zad/4518232/HzadR1x.gif)
Oczywiście trójkąty i
są podobne do trójkąta
, a powyższe równości pozwalają obliczyć skale podobieństwa, są one równe odpowiednio:
i
(bo pole zmienia się jak kwadrat skali podobieństwa). W takim razie
![∘ -- √ -- 1 3 EB = --AB = ----a ∘ 3- 3√ -- 2- --6- DB = 3AB = 3 a √ -- √ -- √ -- √ -- DE = DB − EB = --6a − --3-a = --6-−---3a 3 3 3 √ 6- 3 − √ 6- AD = AB − DB = a − ----a = -------a 3 3](https://img.zadania.info/zad/4518232/HzadR7x.gif)
Sposób II
Oznaczmy przez i
skale podobieństwa odpowiednio trójkątów
i
do trójkąta
. W takim razie
![DF = k1AC oraz EG = k2AC .](https://img.zadania.info/zad/4518232/HzadR13x.gif)
Jeżeli oznaczmy przez i
wysokości trójkątów
opuszczone z wierzchołka
, to mamy również
![h = k h oraz h = k h. 1 1 2 2](https://img.zadania.info/zad/4518232/HzadR18x.gif)
Korzystamy teraz z podanej równości pól.
![{ PEBG = PDEGF PADFC = PDEGF { 12EG ⋅h2 = EG+D2F--⋅(h1 − h2) / ⋅2 AC-+DF-⋅ (h− h ) = EG-+DF-⋅(h − h ) / ⋅2 ( 2 1 2 1 2 | k2AC ⋅k2h = (k2AC + k1AC )⋅(k1h − k2h) / : (AC ⋅h) { | (AC + k 1AC )⋅ (h− k1h) = (k2AC + k1AC )⋅(k1h − k2h ) / : (AC ⋅h) ( { k22 = k21 − k22 1 − k2 = k2 − k2. { 1 1 2 2k2 = k 2 2 2 1 2 1 + k2 = 2k 1.](https://img.zadania.info/zad/4518232/HzadR19x.gif)
Podstawiamy teraz z pierwszego równania do drugiego.
![1+ k2= 4k2 2 2 √ -- 2 1- --3- k2 = 3 ⇒ k2 = 3 .](https://img.zadania.info/zad/4518232/HzadR21x.gif)
Stąd
![√ -- √ -- 6 k1 = 2k2 = -3--](https://img.zadania.info/zad/4518232/HzadR22x.gif)
oraz
![√ -- BE = k2BA = --3a 3 √ -- √ -- 6− 3 ED = BD − BE = k1BA − k2BA = ---------a √ 3- 3-−---6- DA = BA − BD = BA − k 1BA = 3 a.](https://img.zadania.info/zad/4518232/HzadR23x.gif)
Odpowiedź: