Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5287176

W trójkącie ostrokątnym ABC bok AB ma długość 18 cm, a wysokość CD jest równa 15 cm. Punkt D dzieli bok AB tak, że |AD | : |DB | = 1 : 2 . Przez punkt P leżący na odcinku DB poprowadzono prostą równoległą do prostej CD , odcinając od trójkąta ABC trójkąt, którego pole jest cztery razy mniejsze niż pole trójkąta ABC . Oblicz długość odcinka P B .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku.


PIC


Ponieważ |AD | : |DB | = 1 : 2 i AB = 18 , mamy

AD = 1-AB = 6 3 2- DB = 3AB = 12.

Pole trójkąta ABC jest równe

P = 1-⋅18 ⋅15 = 9 ⋅15 = 1 35. ABC 2

Zatem pole trójkąta P BE jest równe

PPBE = 1PABC = 135. 4 4

Sposób I

Zauważmy, że trójkąty PBE i DBC są podobne. Pole pierwszego już znamy, a pole drugiego możemy łatwo wyliczyć

 1 1 PDBC = --⋅DB ⋅DC = --⋅12 ⋅15 = 9 0. 2 2

Ponieważ pole zmienia się jak kwadrat skali podobieństwa, więc skala k podobieństwa tych trójkątów jest równa

 ∘ ------ ∘ ---- ∘ --- ∘ -- √ -- √ -- PPBE-- 1345- 15- 3- ---3- --6- k = P = 90 = 40 = 8 = √ --= 4 . DBC 2 2

Mamy zatem

 √ -- √ -- √ -- P-B-= k = --6- ⇒ PB = --6-⋅12 = 3 6 DB 4 4

Sposób II

Jeżeli oznaczymy P B = x i PE = y to wyliczonego pola trójkąta P BE mamy

1 135 1 35 -xy = ---- ⇒ xy = ----. 2 4 2

Tak jak poprzednio zauważamy, że trójkąty P BE i DBC są podobne, ale tym razem nie wyliczamy ich skali podobieństwa, tylko od razu piszemy iloraz odpowiadających boków.

y- CD-- 1-5 5- 5- x = DB = 1 2 = 4 ⇒ y = 4x.

Podstawiamy tę wartość do poprzedniego równania

x ⋅ 5-x = 13-5 4 2 2 135 4 x = -2--⋅5-= 27⋅ 2 = 9 ⋅6 √ -- x = 3 6.

 
Odpowiedź:  √ -- 3 6 cm

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!