/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Długości odcinków

Zadanie nr 5355781

W trójkącie ABC , w którym |∡CAB | = α , poprowadzono dwusieczną CD kąta wewnętrznego ACB , przy czym |∡CDA | = β . Oblicz |AD-| |DB| .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.

ZINFO-FIGURE

Jeżeli oznaczymy

γ = ∡DCA = 180 ∘ − (α + β )

to mamy

∡BDC = 180∘ − β ∘ ∡CBD = 180 − ∡BDC − ∡DCB = β − γ = = β − 180∘ + (α + β ) = − 180∘ + α + 2β.

Teraz korzystamy z twierdzenia sinusów.

-AD-- = DC--- ⇒ AD = DC--sin-γ- sin γ sin α sinα DB DC DC sin γ ----- = ----------- ⇒ DB = -----------. sin γ sin (β − γ) sin(β − γ)

Zatem

DC sinγ AD-- --sinα-- sin-(β−--γ)- sin-(−-180∘-+-α-+-2β)- DB = DC-sinγ--= sin α = sin α = sin(β −γ) − sin(18 0∘ − (α+ 2β)) sin (α+ 2β) = ----------------------- = − -----------. sin α sinα

Oczywiście ta liczba nie jest ujemna, po prostu sin (α+ 2β) < 0 .

Zamiast korzystać z twierdzenia sinusów, mogliśmy od razu skorzystać z twierdzenia o dwusiecznej – rozwiązanie byłoby wtedy odrobinę krótsze.  
Odpowiedź: − sin(α+-2β) sinα

Wersja PDF