Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6303090

W trójkącie ABC dane są: |AC | = 6 , |BC | = 10 i kąt  ∘ ACB = 120 . Wyznacz długość środkowej CD tego trójkąta.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.


PIC


Plan jest następujący: najpierw obliczymy (z twierdzenia cosinusów) długość boku AB , a potem spróbujemy wykorzystać to, że odcinek CD jest wspólnym bokiem w dwóch trójkątach, w których znamy wszystkie pozostałe długości boków.

Długość boku AB obliczamy stosując twierdzenie cosinusów w trójkącie ABC .

 2 2 2 ∘ AB = AC + BC − 2AC ⋅BC cos1 20 = = 36 + 10 0− 2 ⋅6 ⋅10 ⋅cos(180 ∘ − 60 ∘) = ∘ = 136 + 1 20cos 60 = 13 6+ 60 = 196.

Sąd AB = 14 .

Próbujemy teraz napisać twierdzenia cosinusów w trójkątach ADC i BDC tak, żeby otrzymać układ równań, z którego obliczymy x = CD . Trzeba jednak przy tym trochę uważać i wybrać odpowiednie kąty do twierdzenia cosinusów tak, aby móc je potem wyeliminować. Oznaczmy ∡ADC = α . Wtedy ∡BDC = 180 ∘ − α i

cos ∡BDC = co s(180∘ − α) = − cosα.

Piszemy teraz twierdzenia cosinusów w trójkątach ADC i BDC .

{ 2 2 2 AC = AD + CD − 2AD ⋅ CD cosα BC 2 = BD 2 + CD 2 − 2BD ⋅ CD cos(180∘ − α). { 36 = 49 + x 2 − 1 4xco sα 100 = 4 9+ x2 + 14x cosα.

Dodajemy teraz te równania stronami (żeby skrócić cosα ) i mamy

 2 136 = 9 8+ 2x √ --- 2x2 = 3 8 ⇒ x = 19 .

 
Odpowiedź: √ --- 19

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!