/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Długości odcinków

Zadanie nr 9558895

W trójkącie ABC dane są długości boków: AB = 4 , AC = 6 , BC = 8 . Oblicz długości odcinków, na jakie dzieli bok BC wysokość opuszczona z wierzchołka A .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Sposób I

Do obliczenia długości odcinka BK = x , wystarczy znać cosβ (bo x cosβ = 4 ). A ten możemy obliczyć z twierdzenia cosinusów:

2 2 2 AC = BA + BC − 2BA ⋅ BC cos β 36 = 1 6+ 64− 64co sβ 64 cosβ = 44 ⇒ cosβ = 11. 16

Mamy stąd

11 x = 4 cosβ = --- 4 1-1 21- 8− x = 8 − 4 = 4 .

Sposób II

Tym razem obejdziemy się bez twierdzenia cosinusów. Jeżeli oznaczymy AK = h , to pisząc twierdzenia Pitagorasa w trójkątach ABK i CAK mamy

{ h2 + x2 = 1 6 2 2 h + (8 − x) = 36 .

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić 2 h ) i mamy

2 2 64− 16x + x − x = 3 6− 1 6 4-4 11- 44 = 16x ⇒ x = 1 6 = 4 .

Stąd KC = 8 − x = 8− 11= 21 4 4 .

Sposób III

Tym razem zacznijmy od obliczenia pola trójkąta ABC – korzystamy ze wzoru Herona

∘ ------------------------- P = p(p − a)p (p − b)(p − c), ABC

gdzie

AB + BC + CA 4 + 8 + 6 p = ----------------= ----------= 9 2 2

jest połową obwodu trójkąta. Mamy zatem

∘ ----------------------- √ --- PABC = 9(9− 4)(9− 6)(9− 8) = 3 15.

To pozwala łatwo obliczyć długość wysokości AK .

√ --- 1 3 √ --- 3 15 = PABC = --⋅BC ⋅AK = 4AK ⇒ AK = -- 15. 2 4

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie ABK .

∘ ------------ ∘ --------- ∘ ---- BK = AB 2 − AK 2 = 16 − 135-= 121-= 11-. 16 16 4

Stąd

11 21 CK = 8 − BK = 8− ---= --. 4 4

 
Odpowiedź: 114 oraz 214

Wersja PDF