/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Długości odcinków

Zadanie nr 9620703

Na trójkącie ABC , w którym |AB | = 8,|BC | = 5,|AC | = 7 opisano okrąg o środku O . Następnie poprowadzono styczną k do okręgu w punkcie C , która w punkcie D przecięła prostą zawierającą bok AB (jak na rysunku poniżej). Oblicz odległość punktu D od wierzchołka B , jeżeli wiadomo, że 14√ 7 |OD | = -3--- .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Spróbujmy na początku ustalić jaki będzie plan działania.

PIC

Na mocy twierdzenia o odcinkach siecznych (lub jak ktoś woli z podobieństwa trójkątów ADC i CDB ) mamy

DA ⋅DB = DC 2,

co oznacza, że łatwo wyliczymy długość odcinka BD jeżeli tylko będziemy znali długość odcinka stycznej CD . Tę długość jednak łatwo wyliczyć z trójkąta prostokątnego DOC , pod warunkiem, że znamy długość promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC – ten promień da się wyliczyć, bo znamy długości wszystkich boków trójkąta ABC .

Mamy plan działania, więc do dzieła. Rozpocznijmy od wyliczenia pola trójkąta ABC - korzystamy ze wzoru Herona

∘ ----------------------- P = p(p − a)(p − b )(p − c),

gdzie p = a+b2+c- jest połową obwodu. W naszej sytuacji mamy

p = 8-+-5-+-7-= 1 0 2

oraz

∘ --------------------------- √ ----------- √ -- P = 10(10 − 8)(10 − 5)(10 − 7) = 10⋅ 2⋅5 ⋅3 = 10 3.

Teraz korzystamy ze wzoru na pole abc P = 4R , skąd mamy

√ -- R = abc-= 8⋅-5√⋅7-= √7--= 7--3. 4P 4 0 3 3 3

Teraz z trójkąta prostokątnego DOC mamy

CD 2 = OD 2 − R 2 = 1-372 − 147-= 12-25. 9 9 9

Teraz pozostało wyliczyć DB = x . Mamy

2 DA ⋅DB = DC 1225 (8+ x)x = -9--- / ⋅9 2 9x + 72x − 12 25 = 0 / : 2 9 2 1225 -x + 3 6x− -----= 0 2 2 2 Δ = 1296 + 1102 5 = 12321 = 111 − 3 6+ 1 11 75 2 5 x = ----------- = ---= ---. 9 9 3

 
Odpowiedź: 25 DB = 3

Wersja PDF