Zadanie nr 2999482

Dany jest trójmian kwadratowy 2 f(x) = (m + 1)x + 2(m − 2)x − m + 4 . Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których trójmian ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x2 , spełniające warunek x 2− x 2= x4− x4 1 2 1 2 .

Rozwiązanie

Jeżeli funkcja ma mieć dwa różne pierwiastki, to musi to być funkcja kwadratowa, czyli m ⁄= −1 . Sprawdzamy teraz, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki.

0 < Δ = 4(m − 2)2 − 4(m + 1)(−m + 4) = 4((m − 2)2 + (m + 1 )(m − 4)) = ( 7) = 4(m 2 − 4m + 4 + m 2 + m − 4m − 4) = 4(2m 2 − 7m ) = 8m m − -- . ( ) 2 7 m ∈ (− ∞ ,0) ∪ -,+ ∞ . 2

Przy powyższym założeniu możemy zapisać wzory Vièteá

{ x1 + x2 = −-2m(m+-−12) = 4−m+2m1 −m-+-4 4−m- x1x2 = m +1 = m +1.

Przekształćmy teraz dany warunek tak, aby móc zastosować wzory Viète’a. Zauważmy, że założyliśmy, że x1 ⁄= x2 , więc możemy dzielić przez x1 − x2 . Zauważmy ponadto, że gdyby x1 + x2 = 0 , to z powyższych wzorów Viète’a mielibyśmy m = 2 , a to jest sprzeczne z warunkiem na –ę. Możemy więc dzielić przez 2 2 x1 − x2 = (x1 − x2)(x 1 + x 2) .