Zadanie nr 3514260

Liczby i są wszystkimi pierwiastkami rzeczywistymi równania x 2 + (m − 5)x + m 2 + m + 14 = 0 , przy czym zakładamy, że x 1 = x2 w przypadku, gdy równanie ma tylko jedno rozwiązanie. Zbadaj, dla jakich wartości parametru , wyrażenie x1+x2 x1x2 przyjmuje wartość najmniejszą. Oblicz tę wartość.

Rozwiązanie

Na początku sprawdzamy kiedy dane równanie ma pierwiastki rzeczywiste.

( 1) 0 ≤ Δ = (m − 5 )2 − 4 m2 + m + -- = 4 = m 2 − 10m + 25− 4m 2 − 4m − 1 = − 3m 2 − 14m + 24 2 Δ = 19 6+ 2 288 = 48 4 = 22 14 − 22 8 4 14 + 22 m 1 = --------= --= -, ∨ m2 = --------= −6 ⟨ − 6 ⟩ 6 3 − 6 4- m ∈ −6 ,3 .

Powyższy rachunek mogliśmy trochę uprościć zauważając, że

( ) 2 m 2 + m + 1-= m + 1- 4 2

( ) 2 1- 2 2 2 Δ = (m − 5 ) − 4 m + 2 = (m − 5) − (2m + 1) = = (m − 5 − (2m + 1))(m − 5+ (2m + 1)) = − (m + 6)(3m − 4).

Tak czy inaczej, na mocy wzorów Viete’a mamy

f (m ) = x1-+-x2-= -−-(m-−-5)--= (-5-−-m)--. x 1x2 m 2 + m + 14 1 2 m + 2

Ze względu na mianownik musimy dodatkowo założyć, że m ⁄= − 12 . Liczymy pochodną tej funkcji

′ − (m 2 + m + 14 )− (5 − m )(2m + 1) f (m ) = -------------(------)4------------- = m + 12 −m--2 −-m-−-14-−-1-0m-+-2m-2-−-5-+-m- m-2-−-10m--−-214 = ( ) 4 = ( ) 4 . m + 12 m + 12

Rozkładamy jeszcze trójmian w liczniku.

2 Δ = 100+ 21 = 12 1 = 11 10− 11 1 10 + 11 21 m = --------= − -- lub m = --------= ---. 2 2 2 2

Mamy zatem

( ) ( ) m + 1 m − 21 f′(m ) = ------2---------2--. ( 1)4 m + 2

To oznacza, że pochodna jest dodatnia na przedziale ⟨ 1) − 6,− 2 i ujemna na przedziale ( ⟩ 1 4 − 2, 3 . Zatem funkcja rośnie w przedziale ⟨ ) 1 − 6,− 2 i maleje w przedziale ( ⟩ − 1 , 4 2 3 . To z kolei oznacza, że najmniejsza wartość funkcji to albo f (−6 ) albo ( ) f 4 3 . Liczymy każdą z tych wartości