Zadanie nr 3961258

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie

2 x + 6mx + (2m − 1)(4m + 1) = 0

ma dwa różne rozwiązania , spełniające warunki: x 1 ⋅x 2 ⁄= 0 oraz 0 > 1x-+ 1x-≥ − 65 1 2 .

Rozwiązanie

Najpierw sprawdźmy, kiedy równanie ma dwa różne rozwiązania

2 2 2 0 < Δ = 36m − 4(2m − 1)(4m + 1) = 36m − 4(8m − 2m − 1 ) = = 4m 2 + 8m + 4 = 4(m + 1)2 ⇐ ⇒ m ⁄= − 1.

Rozwiązania mają być ponadto niezerowe, więc

1 1 (2m − 1)(4m + 1) ⁄= 0 ⇐ ⇒ m ⁄= -- i m ⁄= − -. 2 4

Przy tych założeniach możemy zapisać wzory Viète’a.

{ x1 + x2 = − 6m x1x2 = (2m − 1)(4m + 1).

Rozwiązaniem nierówności

1-- -1- x1-+-x2- ------−-6m-------- --------3m---------- 0 > x + x = x x = (2m − 1)(4m + 1 ) = − ( 1) ( 1) 1 2 1 2 4 m − 2 m + 4

jest zbiór

( ) ( ) m ∈ − 1,0 ∪ 1,+ ∞ , 4 2

więc pozostało rozwiązać nierówność

− 6-≤ 1--+ -1-= x1-+-x2-= ------−-6m-------- / : (− 6) 5 x1 x2 x 1x2 (2m − 1)(4m + 1 ) m 1(2m − 1)(4m + 1 ) 5m − (8m 2 − 2m − 1 ) 0 ≥ ------------------− -------------------= ---------------------- / ⋅(− 1) (2m − 1 )(4m + 1) 5(2m − 1)(4m + 1 ) 5 (2m − 1 )(4m + 1) 2 1 1 0 ≤ (8m − 7m − 1) ⋅5(2m − 1)(4m + 1 ), oraz m ⁄= 2-i m ⁄= − 4.

Rozkładamy teraz trójmian w pierwszym nawiasie.

Δ = 49+ 32 = 81 7-−-9- 1- 7-+-9- m = 16 = − 8 lub m = 1 6 = 1.

Mamy zatem nierówność

( ) ( ) ( ) 1- 1- 1- 1- 1- 0 ≤ 8 (m − 1) m + 8 ⋅40 m − 2 m + 4 , oraz m ⁄= 2 i m ⁄= − 4,

której rozwiązaniem jest zbiór

( ) ⟨ ) m ∈ −∞ ,− 1- ∪ − 1, 1- ∪ ⟨1,+ ∞ ). 4 8 2

Łącząc wszystkie otrzymane warunki mamy

⟨ ) m ∈ − 1-,0 ∪ ⟨1,+ ∞ ). 8

Odpowiedź: ⟨ ) m ∈ − 1,0 ∪ ⟨1,+ ∞ ) 8