Zadanie nr 4562340

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których oba pierwiastki równania

(3m + 1)x2 − (4m + 1)x + 12m = 0

są większe od 2.

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw, kiedy dane równanie ma dwa pierwiastki. Oczywiście musi być m ⁄= − 13 . Ponadto

2 0 < Δ = (4m + 1) − 4 ⋅12m ⋅ (3m + 1) = = 16m 2 + 8m + 1 − 14 4m 2 − 48m = −1 28m 2 − 40m + 1 0 > 128m 2 + 40m − 1

Rozwiązujemy tę nierówność kwadratową

Δm = 1600 + 512 = 2112 = 64⋅3 3 √ --- √ --- √ --- √ --- m1 = −-40−--8--33-= −-5−----33, m2 = −-40+--8--33-= −-5+----33- ( 25-6- --32) 256 32 −5 − √ 3 3 − 5 + √ 33 m ∈ ----------,----------- 32 32

Sposób I

Jeżeli wykresem lewej strony równania jest parabola o ramionach skierowanych w górę, czyli dla 1 m > − 3 , to podany warunek będzie spełniony, gdy wierzchołek paraboli będzie na prawo od 2 i f(2) > 0 (bo warunki te gwarantują, że na lewo od 2 nie ma pierwiastków). Pierwszy warunek daje

2 < xw = −b--= -4m--+-1--- 2a 2(3m + 1) 4m + 1 − 8m − 3 0 < ------- − 2 = --------- / ⋅(− 1) 6m( + 2 3) 6m + 2 ( ) -8-m-+--8-- 3- 1- 0 > ( 1) ⇐ ⇒ m ∈ − 8,− 3 . 6 m + 3

To jest jednak sprzeczne z początkowym założeniem, że m > − 13 .

W takim razie ramiona paraboli będącej wykresem lewej strony muszą być skierowane w dół, czyli 1 m < − 3 . Ponadto wierzchołek musi być na prawo od 2, oraz f(2 ) < 0 . Pierwszy warunek jak wiemy oznacza, że

( ) m ∈ − 3-,− 1- 8 3

a drugi daje

0 > f(2) = 4(3m + 1 )− 2 (4m + 1) + 12m = 16m + 2 1 − --> m , 8

co nie wnosi nic nowego. Łącząc otrzymaną nierówność z warunkiem na -ę, mamy

( √ --- ) m ∈ −5-−---3-3,− 1- . 3 2 3

Sposób II

Wystarczy sprawdzić, kiedy mniejszy z pierwiastków jest na prawo od 2. Musimy jednak rozważyć dwa przypadki, bo nie wiemy jaki jest znak współczynnika przy 2 x .

Jeżeli 1 m > − 3 , to musimy rozwiązań nierówność

√ -------2----------- 2 < 4m-+--1−----−-128m--−--40m-+-1- ∘ 6m-+--2------------ 2 ∘ -----------1-2m-+-4 < 4m + 1 − − 128m − 40m + 1 − 1 28m 2 − 4 0m + 1 < − 8m − 3.

Łatwo jednak sprawdzić, że dla m > − 1 3 prawa strona jest ujemna, więc nierówność jest sprzeczna w tym przypadku.

Musi więc być m < − 13 i pozostaje rozwiązać nierówność

√ -------2----------- 2 < 4m--+-1-+---−-128m---−-40m-+--1 6m + 2 ∘ -------2----------- 12m + 4 > 4∘m-+--1+----−-128m---− 40m + 1 8m + 3 > − 12 8m 2 − 40m + 1.

Chcielibyśmy teraz podnieść tę nierówność do kwadratu, ale aby móc to zrobić musimy założyć, że lewa strona jest nieujemna, czyli, że 3 m > − 8 (jeżeli tak nie jest to nierówność jest sprzeczna).

2 2 64m + 48m + 9 > − 128m − 40m + 1 192m 2 + 88m + 8 > 0 / : 8 2 24m + 11m + 1 > 0 Δ = 121 − 96 = 25 m = −-11-−-5-= − 1, m2 = −-11+--5-= − 1- 1 ( 48 ) (3 ) 48 8 1 1 m ∈ −∞ ,− 3- ∪ − 8,+ ∞ .

Otrzymujemy więc w tym przypadku

( 3 1) m ∈ − --,− -- 8 3

Łącząc to z warunkiem na -ę, mamy

( √ --- ) m ∈ −5-−---3-3,− 1- . 3 2 3

Sposób III

Jeżeli pierwiastki x1,x2 danego równania mają być większe od 2, to liczby x1 − 2 i x 2 − 2 muszą być obie dodatnie. Tak jest wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn i suma są dodatnie.