Zadanie nr 4608865

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których trójmian kwadratowy

4x2 − 2(m + 1 )x+ m

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x 1 oraz , spełniające warunki:

-1- 1-- x1 ⁄= 0, x2 ⁄= 0 oraz x1 + x2 ≤ x 1 + x2.

Rozwiązanie

Sprawdzamy najpierw, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki.

2 0 < Δ = 4(m + 1) − 16m / : 4 0 < m 2 − 2m + 1 = (m − 1)2 m ⁄= 1 .

Wiemy ponadto, że rozwiązania mają być niezerowe, więc m ⁄= 0 . Przy tych założeniach możemy skorzystać ze wzorów Viète’a

{ x1 + x2 = 2(m+4-1) = m+2-1 m- x1x2 = 4.

Przekształćmy nierówność, którą mamy rozwiązać.

1 1 x + x x1 + x2 ≤ ---+ ---= -1----2- x1 x2 x 1x2 x1 +-x2- 0 ≤ x1x2 − (x1 + x2) ( ) 0 ≤ (x 1 + x 2) --1--− 1 = (x1 +-x2)(1−--x1x2). x1x2 x1x 2

Korzystamy teraz z zapisanych wcześniej wzorów Viète’a

m-+1 ( m-) 0 ≤ --2--⋅-1-−-4-- m4 (m + 1)(4− m ) 0 ≤ ---------------- / ⋅(− 2) 2m (m-+--1)(m-−--4) 0 ≥ m .

Przy założeniu m ⁄= 0 , nierówność ta jest równoważna nierówności wielomianowej

0 ≥ m (m + 1)(m − 4).

Zaznaczamy teraz miejsca zerowe prawej strony na osi.

Z rysunku odczytujemy rozwiązanie

m ∈ (− ∞ ,− 1⟩ ∪ (0,4⟩.

Z tego zbioru musimy jeszcze wyrzucić m = 1 (z warunku z -ą), więc końcowa odpowiedź to

m ∈ (− ∞ ,− 1⟩ ∪ (0,1)∪ (1,4⟩.

Odpowiedź: m ∈ (− ∞ ,− 1⟩∪ (0,1) ∪ (1,4⟩