Zadanie nr 4847992

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie x 2 − 3mx + 2m 2 + 1 = 0 ma dwa różne rozwiązania takie, że każde należy do przedziału (− ∞ ,3) .

Rozwiązanie

Po pierwsze, jeżeli równanie ma mieć dwa różne pierwiastki, to musi być Δ > 0 , czyli

2 2 2 0 < Δ = (3m ) − 4 (2m + 1) = m − 4 = (m − 2)(m + 2) m ∈ (− ∞ ,−2 )∪ (2,+ ∞ ).

Sposób I

Jak zapisać warunek, że pierwiastki są mniejsze od 3? – najlepiej jest myśleć o paraboli, jej punkty przecięcia z osią muszą być na lewo od 3.

Jak to zapisać? Na pewno wierzchołek musi być na lewo od 3, czyli

3 > x = 3m- ⇐ ⇒ m < 2. w 2

To jednak nie wystarczy, bo większy pierwiastek może być nadal za trójką. Aby to wykluczyć, musimy jeszcze zażądać, aby wartość w x = 3 była dodatnia, czyli

0 < f(3) = 9 − 9m + 2m 2 + 1 = 2m 2 − 9m + 1 0 Δ = 81 − 80 = 1 9-−-1- 9-+-1- 5- m 1 = 4 = 2, m 2 = 4 = 2 ( 5 ) m ∈ (− ∞ ,2)∪ --,+ ∞ . 2

Łącząc wszystkie otrzymane warunki otrzymujemy rozwiązanie: m ∈ (− ∞ ,−2 ) .

Sposób II

Wystarczy sprawdzić, kiedy większy z pierwiastków jest na lewo od 3. Liczymy

√ -- −b--+---Δ- < 3 2a√ ------- 3m + m 2 − 4 --------------- < 3 / ⋅2 ∘2------- 3m + m 2 − 4 < 6 ∘ --2---- m − 4 < 6 − 3m .

Chcielibyśmy teraz podnieść tę nierówność do kwadratu, ale aby móc to zrobić musimy założyć, że prawa strona jest nieujemna, czyli że m ≤ 2 (jeżeli tak nie jest to nierówność jest sprzeczna).

∘ ------- m2 − 4 < 6− 3m /()2 m 2 − 4 < 36 − 36m + 9m 2 2 0 < 8m − 36m + 40 / : 4 0 < 2m 2 − 9m + 10 Δ = 81 − 80 = 1 9 − 1 9+ 1 5 m 1 = --4---= 2, m 2 = --4--= 2- ( ) m ∈ (− ∞ ,2)∪ 5,+ ∞ . 2

Łącząc wszystkie otrzymane warunki otrzymujemy rozwiązanie: m ∈ (− ∞ ,−2 ) .

Sposób III

Jeżeli pierwiastki x1,x2 danego równania mają być mniejsze od 3, to liczby x1 − 3 i x 2 − 3 muszą być obie ujemne. Tak jest wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn jest dodatni, a suma ujemna.

{ 0 < (x1 − 3)(x2 − 3) = x1x2 − 3(x 1 + x 2) + 9 0 > (x1 − 3)+ (x 2 − 3 ) = (x1 + x2)− 6.

Korzystamy teraz ze wzorów Viète’a.

{ x1 + x2 = 3m x1x2 = 2m 2 + 1.

Musimy więc rozwiązać układ nierówności

{ 2 2 0 < 2m + 1 − 9m + 9 = 2m − 9m + 1 0 0 > 3m − 6

Rozwiązaniem drugiej nierówności jest przedział (− ∞ ,2) , a pierwszą nierówność rozwiązujemy tak samo jak w poprzednich sposobach:

0 < 2m 2 − 9m + 10 Δ = 81 − 80 = 1 9 − 1 9+ 1 5 m 1 = ------= 2, m 2 = -----= -- 4 ( ) 4 2 m ∈ (− ∞ ,2)∪ 5,+ ∞ . 2

Łącząc wszystkie otrzymane warunki otrzymujemy rozwiązanie: m ∈ (− ∞ ,−2 ) .

Sposób IV

Jeżeli ktoś nie boi się pochodnych, to warunek z treści zadania można zapisać jako f (3) > 0 i f′(3) > 0 – funkcja ma być malejąca w otoczeniu 2 (czyli jesteśmy na lewej połówce paraboli). Warunek f(3 ) > 0 tak jak w I sposobie prowadzi do nierówności