/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem

Zadanie nr 5004527

Przedyskutuj liczbę rozwiązań równania 2 px + px + 0,5 = 0 w zależności od wartości parametru p , a następnie naszkicuj wykres funkcji f , która każdej wartości parametru p przyporządkowuje liczbę rozwiązań tego równania.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zobaczmy najpierw co się dzieje, gdy podane równanie nie jest kwadratowe, czyli dla p = 0 . Mamy wtedy równość 0,5 = 0 , która oczywiście jest sprzeczna (równanie nie ma rozwiązań).

Jeżeli p ⁄= 0 to ilość rozwiązań równania zależy od znaku Δ –y. Liczymy

2 Δ = p − 2p = p(p − 2).

Zatem

( |{ Δ > 0 dla p ∈ (− ∞ ,0) ∪ (2,∞ ) Δ < 0 dla p ∈ (0,2) |( Δ = 0 dla p = 2

Stąd ilość rozwiązań wyraża się wzorem

( |{ 2 dla p ∈ (− ∞ ,0)∪ (2,∞ ) f (p) = 1 dla p = 2 |( 0 dla p ∈ ⟨0,2)

Pozostało narysować wykres funkcji f .

PIC

 
Odpowiedź: ( |{ 2 dla p ∈ (− ∞ ,0) ∪ (2,∞ ) f(p ) = 1 dla p = 2 |( 0 dla p ∈ ⟨0,2 )

Wersja PDF